Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Resolva os PVI 's pelo método de Bernoulli:
y^{-1 / 2} y^{\prime}+y^{1 / 2}=1 ; y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y^{-1/2}\,y' + y^{1/2} = 1,\quad y(0)=2,
usando o método de Bernoulli. Esse método lida com equações da forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n,
que se tornam lineares após a substituição u = y^{1-n}.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a equação de modo mais claro. Multiplicando tudo por y^{1/2} obtemos
y' + y = y^{1/2}.
Aqui p(x)=1, q(x)=1 e n=\tfrac12. Para linearizar, fazemos a substituição
u = y^{1 - n} = y^{1 - 1/2} = y^{1/2}.

Passo 3

Como y = u^2, temos
y' = 2u\,u'.
Substituindo y e y' na equação y' + y = y^{1/2}
2u\,u' + u^2 = u \quad\Longrightarrow\quad 2u' + u = 1,
que é uma equação linear em u.

Passo 4

Escrevendo em forma padrão
u' + \tfrac12\,u = \tfrac12,
o fator integrante é
\mu(x) = e^{\int \tfrac12\,dx} = e^{x/2}.
Multiplicando a equação por \mu(x) resulta em
\frac{d}{dx}\bigl(u\,e^{x/2}\bigr) = \tfrac12\,e^{x/2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
u\,e^{x/2} = \int \tfrac12\,e^{x/2}\,dx = e^{x/2} + C,
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u(x) = 1 + C\,e^{-x/2}.

Passo 6

Voltando a y, temos
y(x) = \bigl(u(x)\bigr)^2 = \bigl[\,1 + C\,e^{-x/2}\bigr]^2.
Para achar C, usamos y(0)=2:
2 = \bigl[1 + C\bigr]^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 + C = \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad C = \sqrt{2} - 1.

Resposta

A solução explícita do PVI é
y(x) = \bigl[\,1 + (\sqrt{2}-1)\,e^{-x/2}\bigr]^2.

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