Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Resolva os PVI 's pelo método de Bernoulli:
x^{3} y^{\prime}-2 x^{2} y=3 y^{4} ; y(1)=\frac{1}{2};

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x^{3}y' - 2x^{2}y = 3y^{4},\quad y(1)=\tfrac12.
Este é uma equação de Bernoulli de grau n=4. Vamos usar o método de Bernoulli para encontrar y(x).

Passo 2

Dividindo por x^{3}, obtemos a forma padrão
y' - \frac{2}{x}\,y = \frac{3}{x^{3}}\,y^{4},
que equivale a
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=-\tfrac{2}{x}, Q(x)=\tfrac{3}{x^{3}} e n=4.

Passo 3

Fazendo a substituição
u = y^{1-n} = y^{-3},
temos
u' = (1-n)\,y^{-n}\,y' = -3\,y^{-4}y',
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y' = -\tfrac{1}{3}\,y^{4}\,u'.
Substituindo em y' - \tfrac{2}{x}y = \tfrac{3}{x^{3}}y^{4} e dividindo por y^{4}, resulta
-\tfrac{1}{3}u' - \frac{2}{x}u = \frac{3}{x^{3}} \quad\Longrightarrow\quad u' + \frac{6}{x}u = -\frac{9}{x^{3}}.

Passo 4

Esta é uma equação linear em u. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int \tfrac{6}{x}\,dx} = x^{6}.
Multiplicando por \mu, vem
(x^{6}u)' = -9\,x^{3}.
Integrando,
x^{6}u = -\frac{9}{4}\,x^{4} + C \quad\Longrightarrow\quad u = -\frac{9}{4}x^{-2} + C\,x^{-6}.

Passo 5

Voltando a y,
y^{-3} = u = -\frac{9}{4x^{2}} + C\,x^{-6}.
Impondo y(1)=\tfrac12, temos
8 = y(1)^{-3} = C - \frac{9}{4} \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{41}{4}.
Assim
y^{-3} = \frac{41}{4}\,x^{-6} - \frac{9}{4}\,x^{-2}.

Passo 6

Invertendo e simplificando,
y^{3} = \frac{4\,x^{6}}{41 - 9\,x^{4}},
y(x) = \frac{\sqrt[3]{4}\,x^{2}}{\sqrt[3]{41 - 9x^{4}}}.
A solução é explícita.

Resposta

y(x)=\dfrac{\sqrt[3]{4}\,x^{2}}{\sqrt[3]{41-9x^{4}}} (solução explícita).

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