A tábua de multiplicação abaixo define uma operação cdot que confere ao conjunto G=e, a, b, c, d, f uma estrutura de grupo.
cdot e a b c d f
e e a b c d f
a a b c d f e
b b c d f e a
c c d f e a b
d d f e a b c
f f e a b c d
Determine os geradores de G.

Passo 1

O enunciado dá a tabela de multiplicação de um conjunto G={e,a,b,c,d,f} que é grupo sob a operação · e pede para achar os geradores de G, ou seja, os elementos g tais que ⟨g⟩=G.

Passo 2

Observando a tabela nota-se que multiplicar por a desloca os elementos ciclicamente: a·a=b, a·b=c, …, a·f=e. Isso mostra que a tem ordem 6 e gera todo o grupo, logo G é cíclico de ordem |G|=6, com G=⟨a⟩.

Passo 3

Em um grupo finito de ordem n, um elemento g gera todo o grupo se, e somente se, ord(g)=n. Além disso, em um grupo cíclico de ordem n, os geradores são exatamente a^k com mdc(k,n)=1.

Passo 4

Como G=⟨a⟩ com a de ordem 6, temos ord(a^k)=6/ mdc(6,k). Calculando: ord(a)=6/ mdc(6,1)=6, ord(a^2)=3, ord(a^3)=2, ord(a^4)=3, ord(a^5)=6.

Passo 5

Conclui-se que os únicos elementos de ordem 6 (isto é, que geram G) são a^1=a e a^5=f.

Resposta

Os geradores de G são a e f.

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