Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
4 x^{2}+9 z^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da superfície dada pela equação
4 x^{2}+9 z^{2}=36.
Informações que temos (diretamente do enunciado):
  • A equação envolve as variáveis x e z, e não aparece y.
  • O objetivo é desenhar (esboçar) a superfície tridimensional definida por essa igualdade.

Passo 2

Reescrevendo a equação numa forma padrão que reconhecemos:
4x^{2}+9z^{2}=36
dividindo ambos os lados por 36 obtemos
\frac{x^{2}}{9}+\frac{z^{2}}{4}=1.
Explicando essa forma: uma equação do tipo
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1
é a equação de uma elipse no plano x\!z. Aqui, a^{2}=9 e b^{2}=4, logo os semi-eixos são a=3 (direção x) e b=2 (direção z). Isso significa que, no plano y=0 (plano x\!z), a curva é a elipse com interceptos x=\pm 3 e z=\pm 2.

Passo 3

Observação importante sobre a ausência de y na equação: como y não aparece, a mesma elipse do plano x\!z se repete para todo valor de y. Em linguagem geométrica, isso define um cilindro cujas geratrizes (linhas geradas pela repetição) são paralelas ao eixo y.
Uma parametrização conveniente dessa superfície é
x=3\cos t,\qquad z=2\sin t,\qquad y=s,
com t\in[0,2\pi) e s\in\mathbb{R}. Essa parametrização mostra claramente:
  • para cada s fixo (cada plano y=const) a curva (x,z)=(3\cos t,2\sin t) é a elipse,
  • ao variar s a elipse é deslocada ao longo do eixo y, gerando o cilindro.

Passo 4

Traços (seções) que ajudam no esboço e compreensão:
  • Seção por planos horizontais y=\text{const}: obtém-se sempre a mesma elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{4}=1.
  • Seção por planos z=\text{const}=z_{0} com |z_{0}|\le 2: temos 4x^{2}=36-9z_{0}^{2}\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{36-9z_{0}^{2}}{4}},ou seja, para cada z_{0} dentro do intervalo há duas retas paralelas ao eixo y (porque y é livre). Especialmente, para z_{0}=0 as retas são x=\pm 3.
  • Seção por planos x=\text{const}=x_{0} com |x_{0}|\le 3: obtemos valores fixos de z=\pm\sqrt{\dfrac{36-4x_{0}^{2}}{9}}, novamente gerando duas retas paralelas ao eixo y.
Esses traços mostram que a superfície é formada por infinitas linhas retas paralelas ao eixo y passando por pontos da elipse base — definição típica de um cilindro reto elíptico.

Passo 5

Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calcular muito):
  1. Desenhe o sistema de eixos x, y e z em perspectiva (por exemplo: x para a direita, z para cima, y saindo/entrando no papel).
  2. No plano y=0 desenhe a elipse com semi-eixo 3 ao longo do x e semi-eixo 2 ao longo do z. Marque x=\pm 3 e z=\pm 2.
  3. Para dar noção de profundidade, desenhe outra elipse igual deslocada para frente/atrás (por exemplo em y=+k e y=-k), com linhas tracejadas se for parte escondida.
  4. Conecte os pontos correspondentes das duas elipses por linhas curvas suaves que representem as geratrizes paralelas ao eixo y; como as geratrizes são retas paralelas ao y, essas conexões aparentam verticais na projeção.
  5. Se quiser reforçar a estrutura, desenhe algumas retas verticais (no desenho) passando por pontos notáveis da elipse (como em x=\pm 3, z=0 e em x=0, z=\pm 2) para mostrar que a elipse se estende em y.
Dica de visualização: imagine uma elipse de borracha no plano x\!z e puxe essa elipse ao longo do eixo y — o volume que ela “varre” é o cilindro elíptico.

Passo 6

Resumo final do que a superfície é: trata-se de um cilindro elíptico reto, com eixo paralelo ao eixo y, cuja seção em y=const é a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{4}=1. As dimensões da elipse base são semi-eixo em x igual a 3 e semi-eixo em z igual a 2.

Resposta

Cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo y; seções y=const dão a elipse \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{z^{2}}{4}=1 (semi-eixos a=3 em x e b=2 em z).

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