Esboce os gráficos das superfícies de equações dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da superfície dada pela equação
Informações que temos (diretamente do enunciado):
- A equação envolve as variáveis
e , e não aparece . - O objetivo é desenhar (esboçar) a superfície tridimensional definida por essa igualdade.
Passo 2
Reescrevendo a equação numa forma padrão que reconhecemos:
dividindo ambos os lados por
obtemos
Explicando essa forma: uma equação do tipo
é a equação de uma elipse no plano
. Aqui,
e
, logo os semi-eixos são
(direção
) e
(direção
). Isso significa que, no plano
(plano
), a curva é a elipse com interceptos
e
.
Passo 3
Observação importante sobre a ausência de
na equação: como
não aparece, a mesma elipse do plano
se repete para todo valor de
. Em linguagem geométrica, isso define um cilindro cujas geratrizes (linhas geradas pela repetição) são paralelas ao eixo
.
Uma parametrização conveniente dessa superfície é
com
e
. Essa parametrização mostra claramente:
- para cada
fixo (cada plano const) a curva é a elipse, - ao variar
a elipse é deslocada ao longo do eixo , gerando o cilindro.
Passo 4
Traços (seções) que ajudam no esboço e compreensão:
- Seção por planos horizontais
: obtém-se sempre a mesma elipse . - Seção por planos
com : temos ou seja, para cada dentro do intervalo há duas retas paralelas ao eixo (porque é livre). Especialmente, para as retas são . - Seção por planos
com : obtemos valores fixos de , novamente gerando duas retas paralelas ao eixo .
Esses traços mostram que a superfície é formada por infinitas linhas retas paralelas ao eixo
passando por pontos da elipse base — definição típica de um cilindro reto elíptico.
Passo 5
Como esboçar na prática (passo a passo para desenhar à mão, sem calcular muito):
- Desenhe o sistema de eixos
, e em perspectiva (por exemplo: para a direita, para cima, saindo/entrando no papel). - No plano
desenhe a elipse com semi-eixo ao longo do e semi-eixo ao longo do . Marque e . - Para dar noção de profundidade, desenhe outra elipse igual deslocada para frente/atrás (por exemplo em
e ), com linhas tracejadas se for parte escondida. - Conecte os pontos correspondentes das duas elipses por linhas curvas suaves que representem as geratrizes paralelas ao eixo
; como as geratrizes são retas paralelas ao , essas conexões aparentam verticais na projeção. - Se quiser reforçar a estrutura, desenhe algumas retas verticais (no desenho) passando por pontos notáveis da elipse (como em
, e em , ) para mostrar que a elipse se estende em .
Dica de visualização: imagine uma elipse de borracha no plano
e puxe essa elipse ao longo do eixo
— o volume que ela “varre” é o cilindro elíptico.
Passo 6
Resumo final do que a superfície é: trata-se de um cilindro elíptico reto, com eixo paralelo ao eixo
, cuja seção em
const é a elipse
. As dimensões da elipse base são semi-eixo em
igual a
e semi-eixo em
igual a
.
Resposta
Cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo
; seções
const dão a elipse
(semi-eixos
em
e
em
).