Esboce os gráficos de todas as funções hiperbólicas e de suas inversas.
Passo 1
O exercício pede para esboçar os gráficos das seis funções hiperbólicas (
,
,
,
, , ) e de suas inversas. Vamos usar as definições em termos de exponenciais, analisar domínio, imagem, monotonicidade, pontos notáveis e assíntotas.
Passo 2
Definimos
. O domínio é
, a imagem é
. É função ímpar e estritamente crescente, passa por
e cresce exponencialmente para
. O esboço é semelhante a uma curva que sobe para a direita e desce para a esquerda.
Definimos . O domínio é
, a imagem é
. É função par, tem mínimo em
e cresce exponencialmente para
, formando um “U” suave.
Definimos . O domínio é
, a imagem é
. É função ímpar e estritamente crescente, com assíntotas horizontais
quando
e passa por
.
Definimos
Definimos
Passo 3
Definimos
. O domínio é
, a imagem é
. É função ímpar, tem assíntotas verticais em
e horizontais
, decresce em cada ramo.
Definimos . O domínio é , a imagem é
. É função par, tem máximo
em
e decai para zero quando
.
Definimos . O domínio é , a imagem é
. É função ímpar, tem assíntota vertical em
e decai para zero nos extremos.
Definimos . O domínio é
Definimos . O domínio é
Passo 4
Para as inversas,
(ou
) reverte
. O domínio é
, a imagem é
. É ímpar e estritamente crescente, com comportamento assintótico
para
.
A inversa (ou
) tem domínio
e imagem
. É crescente, passa por
, sem assíntotas verticais, cresce logaritmicamente.
A inversa (ou
) tem domínio
e imagem
. É ímpar, crescente, com assíntotas verticais em
(vai a
.
A inversa
A inversa
Passo 5
A inversa
(ou
) tem domínio
e imagem
. É ímpar, decrescente em cada ramo, com assíntotas verticais em
.
A inversa (ou ) tem domínio
e imagem
. É decrescente, passa por
e vai a
quando
.
A inversa (ou ) tem domínio
e imagem
. É ímpar, decrescente em
e crescente em
, com assíntota horizontal em 0.
A inversa
A inversa
Passo 6
Com as análises acima definidas, basta traçar os contornos principais: zeros, extremos, assíntotas e curvatura para obter o esboço de cada uma das seis funções e suas inversas.
Resposta
Resumo dos esboços:
• sinh(x): ímpar, cresce de –∞ a +∞, passa por (0,0).
• cosh(x): par, mínimo em (0,1), cresce exponencialmente nas laterais.
• tanh(x): ímpar, passa por (0,0), assíntotas y=±1 para x→±∞.
• coth(x): ímpar, domínio R{0}, assíntotas verticais em x=0 e horizontais y=±1.
• sech(x): par, máximo 1 em x=0, decai a 0 para x→±∞.
• csch(x): ímpar, domínio R{0}, assíntota em x=0, decai a 0 para |x|→∞.
• cosh(x): par, mínimo em (0,1), cresce exponencialmente nas laterais.
• tanh(x): ímpar, passa por (0,0), assíntotas y=±1 para x→±∞.
• coth(x): ímpar, domínio R{0}, assíntotas verticais em x=0 e horizontais y=±1.
• sech(x): par, máximo 1 em x=0, decai a 0 para x→±∞.
• csch(x): ímpar, domínio R{0}, assíntota em x=0, decai a 0 para |x|→∞.
• arsinh(y): ímpar, cresce de –∞ a +∞, sem assíntotas.
• arcosh(y): cresce de y=1 a ∞, imagem [0,∞), sem assíntotas verticais.
• artanh(y): ímpar, domínio (–1,1), assíntotas verticais y=±1.
• arcoth(y): ímpar, domínio (–∞,–1)∪(1,∞), assíntotas verticais y=±1.
• arsech(y): decrescente, domínio (0,1], imagen [0,∞), assíntota em y→0+.
• arcsch(y): ímpar, domínio R{0}, imagem R, assíntota horizontal em y→0.
• arcosh(y): cresce de y=1 a ∞, imagem [0,∞), sem assíntotas verticais.
• artanh(y): ímpar, domínio (–1,1), assíntotas verticais y=±1.
• arcoth(y): ímpar, domínio (–∞,–1)∪(1,∞), assíntotas verticais y=±1.
• arsech(y): decrescente, domínio (0,1], imagen [0,∞), assíntota em y→0+.
• arcsch(y): ímpar, domínio R{0}, imagem R, assíntota horizontal em y→0.