Esboce os gráficos de todas as funções hiperbólicas e de suas inversas.

Passo 1

O exercício pede para esboçar os gráficos das seis funções hiperbólicas ( sinh x, cosh x, tanh x, coth x, , ) e de suas inversas. Vamos usar as definições em termos de exponenciais, analisar domínio, imagem, monotonicidade, pontos notáveis e assíntotas.

Passo 2

Definimos sinh x = tfrace^x - e^-x2. O domínio é R, a imagem é R. É função ímpar e estritamente crescente, passa por (0,0) e cresce exponencialmente para pminfty. O esboço é semelhante a uma curva que sobe para a direita e desce para a esquerda.
Definimos cosh x = tfrace^x + e^-x2. O domínio é R, a imagem é [1,infty). É função par, tem mínimo em (0,1) e cresce exponencialmente para pminfty, formando um “U” suave.
Definimos tanh x = sinh xcosh x. O domínio é R, a imagem é (-1,1). É função ímpar e estritamente crescente, com assíntotas horizontais y=pm1 quando xtopminfty e passa por (0,0).

Passo 3

Definimos coth x = cosh xsinh x. O domínio é Rsetminus0, a imagem é (-infty,-1)cup(1,infty). É função ímpar, tem assíntotas verticais em x=0 e horizontais y=pm1, decresce em cada ramo.
Definimos . O domínio é sech x = 1cosh x, a imagem é R. É função par, tem máximo (0,1] em 1 e decai para zero quando x=0.
Definimos . O domínio é xtopminfty, a imagem é csch x = 1sinh x. É função ímpar, tem assíntota vertical em Rsetminus0 e decai para zero nos extremos.

Passo 4

Para as inversas, arsinhy (ou sinh^-1y) reverte sinh x. O domínio é R, a imagem é R. É ímpar e estritamente crescente, com comportamento assintótico ln(2y) para ytoinfty.
A inversa arcoshy (ou cosh^-1y) tem domínio [1,infty) e imagem [0,infty). É crescente, passa por (1,0), sem assíntotas verticais, cresce logaritmicamente.
A inversa artanhy (ou tanh^-1y) tem domínio (-1,1) e imagem R. É ímpar, crescente, com assíntotas verticais em y=pm1 (vai a pminfty).

Passo 5

A inversa arcothy (ou coth^-1y) tem domínio (-infty,-1)cup(1,infty) e imagem Rsetminus(-1,1). É ímpar, decrescente em cada ramo, com assíntotas verticais em y=pm1.
A inversa arsechy (ou ) tem domínio sech^-1y e imagem (0,1]. É decrescente, passa por [0,infty) e vai a (1,0) quando +infty.
A inversa yto0^+ (ou ) tem domínio arcschy e imagem csch^-1y. É ímpar, decrescente em (-infty,0)cup(0,infty) e crescente em R, com assíntota horizontal em 0.

Passo 6

Com as análises acima definidas, basta traçar os contornos principais: zeros, extremos, assíntotas e curvatura para obter o esboço de cada uma das seis funções e suas inversas.

Resposta

Resumo dos esboços:
• sinh(x): ímpar, cresce de –∞ a +∞, passa por (0,0).
• cosh(x): par, mínimo em (0,1), cresce exponencialmente nas laterais.
• tanh(x): ímpar, passa por (0,0), assíntotas y=±1 para x→±∞.
• coth(x): ímpar, domínio R{0}, assíntotas verticais em x=0 e horizontais y=±1.
• sech(x): par, máximo 1 em x=0, decai a 0 para x→±∞.
• csch(x): ímpar, domínio R{0}, assíntota em x=0, decai a 0 para |x|→∞.
• arsinh(y): ímpar, cresce de –∞ a +∞, sem assíntotas.
• arcosh(y): cresce de y=1 a ∞, imagem [0,∞), sem assíntotas verticais.
• artanh(y): ímpar, domínio (–1,1), assíntotas verticais y=±1.
• arcoth(y): ímpar, domínio (–∞,–1)∪(1,∞), assíntotas verticais y=±1.
• arsech(y): decrescente, domínio (0,1], imagen [0,∞), assíntota em y→0+.
• arcsch(y): ímpar, domínio R{0}, imagem R, assíntota horizontal em y→0.

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