Mostre que cosh (x+y)=sinh x sinh y+cosh x cosh y e sinh (x+y)=cosh x sinh y+cosh y sinh x, x, y in R.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: O objetivo é provar as fórmulas de adição para as funções hiperbólicas:
cosh(x+y)=sinh xsinh y+cosh xcosh y
sinh(x+y)=cosh xsinh y+sinh xcosh y
Para isso, vamos usar as definições em termos de exponenciais e manipular álgebraicamente.

Passo 2

Definições e cálculo de cosh(x+y):
Usamos as definições<br> cosh t=e^t+e^-t2,sinh t=e^t-e^-t2
Então<br> cosh(x+y)=e^x+y+e^-(x+y)2=e^x e^y+e^-xe^-y2

Passo 3

Verificação de sinh xsinh y+cosh xcosh y:
Substituindo as definições, temos<br> sinh xsinh y+cosh xcosh y=(e^x-e^-x)(e^y-e^-y)4+(e^x+e^-x)(e^y+e^-y)4
Expandindo e somando termos semelhantes, obtemos<br> e^x+y-e^x-y-e^-x+y+e^-x-y+e^x+y+e^x-y+e^-x+y+e^-x-y4=2(e^x+y+e^-x-y)4=e^x+y+e^-x-y2,
que coincide com cosh(x+y).

Passo 4

Cálculo de sinh(x+y) e verificação:
Começamos pela definição<br> sinh(x+y)=e^x+y-e^-(x+y)2=e^x e^y-e^-xe^-y2
Agora checamos o lado direito:
cosh xsinh y+sinh xcosh y=e^x+e^-x2cdote^y-e^-y2+e^x-e^-x2cdote^y+e^-y2
Expandindo e somando, surge<br> e^x+y-e^x-y+e^-x+y-e^-x-y+e^x+y+e^x-y-e^-x+y-e^-x-y4=2(e^x+y-e^-x-y)4=e^x+y-e^-x-y2,
que é exatamente sinh(x+y).

Passo 5

Conclusão: A partir das manipulações com exponenciais, obtivemos as identidades de adição para cosh e sinh conforme exigido.

Resposta

As fórmulas de adição são:
cosh(x+y)=sinh xsinh y+cosh xcosh y
sinh(x+y)=cosh xsinh y+sinh xcosh y.

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