Exresse d yd x em termos de x e de y, onde y=f(x) é um função derivável dada implicitamente pela equação:
y^5+x^2 y^3=1+y e^x^2

Passo 1

Temos a equação implícita dada por y^5+x^2y^3=1+y e^x^2. O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita: vamos usar a regra da cadeia para y^5 e y^3 e a regra do produto para x^2y^3 e para y e^x^2.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(y^5r)+ddxl(x^2y^3r)=ddx(1)+ddxl(y e^x^2r)
Aplicando as regras, obtemos:
5y^4y'+l(2x y^3 + x^2cdot 3y^2y'r)=0+l(y'e^x^2+ycdot2x e^x^2r)

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os demais termos do outro:
5y^4y' +3x^2y^2y' - e^x^2y' = 2x y e^x^2 -2x y^3

Passo 4

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'l(5y^4+3x^2y^2 - e^x^2r)=2x yl(e^x^2-y^2r)

Passo 5

Por fim, isolamos y' dividindo pelo fator que multiplica y':
y'=2x y,(e^x^2-y^2)5y^4+3x^2y^2 - e^x^2

Resposta

dydx=2x,y,(e^x^2-y^2)5y^4+3x^2y^2 - e^x^2

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