Esboce os gráficos e verifique se as seguintes funções são contínuas em cada um dos pontos de seus respectivos domínios. Justifique suas respostas:
f: R R dada por
f(x)=rll |x^3| & se & x neq 3 26,99999 & se & x=3

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o que precisamos. A função é
f(x)= lvert x^3rvert, & xneq 3, 26,99999, & x=3
O domínio é R. O que queremos é verificar a continuidade em cada ponto do domínio e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo utilizado será a noção de limite e definição de continuidade, além de lembrar que composição de funções contínuas é contínua.

Passo 2

Para xneq3, temos f(x)=lvert x^3rvert=l(lvert xrvertr)^3. Sabemos que xmapsto x^3 é contínua em todo R e que xmapstolvert xrvert também é contínua em todo R. Logo, a composição
x;longmapsto;x^3;longmapsto;lvert x^3rvert
é contínua para todo xneq3. Portanto, não há problema de continuidade em qualquer ponto diferente de 3.

Passo 3

No ponto x=3, calculamos o limite
limxto3f(x) =limxto3lvert x^3rvert =lvert 3^3rvert =27
Porém, o valor definido pela função em x=3 é f(3)=26,99999. Como
limxto3f(x)=27 e f(3)=26,99999,
esses valores não coincidem, logo f é descontínua em x=3. Trata-se de uma descontinuidade removível, pois o limite existe mas difere de f(3).

Passo 4

Esboço do gráfico de y=f(x):
  1. Para xneq3, desenhe a curva de y=lvert x^3rvert, que é simétrica em relação ao eixo y, passando por (3,27).
  2. Em (3,27) coloque um círculo aberto (buraco).
  3. Em (3,26,99999) coloque um ponto cheio isolado.
Dessa forma, visualizamos a função como a curva cúbica absoluta com um “furo” em (3,27) e um ponto preenchido logo abaixo.

Resposta

A função f é contínua para todo xneq3 e é descontínua em x=3.

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