Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Estamos com a integral indefinida
integral x^2raiz1 - x^2 ,dx
O conteúdo é integração de funções que envolvem raiz quadrada de 1 - x^2 e vamos usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazendo a substituição x = sintheta, temos dx = costheta,dtheta e raiz1 - x^2 = costheta. Então:
x^2raiz1 - x^2,dx = sin^2thetacosthetacdot(costheta,dtheta) = sin^2theta,dtheta

Passo 3

Agora precisamos integrar integral sin^2theta,dtheta. Usamos a identidade de redução
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2
portanto
integral sin^2theta,dtheta = integral 1 - cos(2theta)2,dtheta = theta2 - sin(2theta)4 + C

Passo 4

Revertendo para x: temos theta = arcsin x e sin(2theta) = 2sinthetacostheta = 2xraiz1 - x^2. Logo a primitiva fica
arcsin x2 - 2xraiz1 - x^24 + C = 12arcsin x - xraiz1 - x^22 + C

Resposta

12arcsin x - xraiz1 - x^22 + C

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