Exercício 1. (15 pontos) Resolva as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral indefinida
integral x^2-4x+7x^2-5x+6,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos usar divisão de polinômios seguida de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão de polinômios: dividindo o numerador pelo denominador,
x^2-4x+7=(x^2-5x+6)cdot1+(x+1)
portanto
x^2-4x+7x^2-5x+6=1+x+1x^2-5x+6

Passo 3

Em seguida, fatoramos o denominador e montamos a fração parcial. Como
x^2-5x+6=(x-2)(x-3),
vamos escrever
x+1(x-2)(x-3)=Ax-2+Bx-3
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3)
x+1=A(x-3)+B(x-2)
Igualando coeficientes resulta no sistema
A+B=1, -3A-2B=1,
cuja solução é A=-3 e B=4.

Passo 4

Agora reescrevemos a integral e integramos termo a termo:
integral x^2-4x+7x^2-5x+6,dx=integral1,dx-3integraldxx-2+4integraldxx-3
Integrando cada parte obtemos
x-3ln|x-2|+4ln|x-3|+C

Resposta

x-3\ln|x-2|+4\ln|x-3|+C

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