Esboce as hipérboles abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas:
5 x^2-9 y^2-45=0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a hipérbole dada por 5x^2 - 9y^2 - 45 = 0 e calcular distância focal, eixos transversal e conjugado, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é hipérbole central alinhada com os eixos cartesianos, então vamos reescrever na forma padrão, identificar a, b e c, e usar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de 5x^2 - 9y^2 - 45 = 0 por 45, obtemos na forma padrão
x^29 - y^25 = 1
Dessa forma, identificamos a^2 = 9 e b^2 = 5.

Passo 3

Na hipérbole canônica x^2a^2 - y^2b^2 = 1, a semi-distância do eixo transversal é a e a do eixo conjugado é b. Logo,
a = 3,
b = raiz5

Passo 4

A distância do centro a cada foco satisfaz c^2 = a^2 + b^2. Então
c^2 = 9 + 5 = 14
e portanto
c = raiz14

Passo 5

A excentricidade da hipérbole é dada por
e = ca = raiz143

Passo 6

A distância focal (entre os dois focos) é
2c = 2raiz14
O eixo transversal mede
2a = 6
e o eixo conjugado mede
2b = 2raiz5

Passo 7

As assíntotas de x^2a^2 - y^2b^2 = 1 são
y = pm ba , x,
logo aqui
y = pm raiz53 , x

Passo 8

Para esboçar, marcamos o centro na origem, vértices em (pm3,0), focos em (pmraiz14,0) e desenhamos os ramos aproximando-se das linhas assíntotas y = pm tfracraiz53x.

Resposta

Esboço: hipérbole centrada na origem com vértices em (pm3,0), focos em (pmraiz14,0) e assíntotas y = pm tfracraiz53x. Distância focal: 2raiz14. Eixo transversal: 6. Eixo conjugado: 2raiz5. Excentricidade: tfracraiz143.

Exercícios relacionados