Esboce as hipérboles abaixo e calcule a distância focal, a medida dos eixos transversal e conjugado, a excentricidade e as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a hipérbole dada por
e calcular distância focal, eixos transversal e conjugado, excentricidade e assíntotas. O conteúdo é hipérbole central alinhada com os eixos cartesianos, então vamos reescrever na forma padrão, identificar
,
e
, e usar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Dividindo ambos os lados de
por 45, obtemos na forma padrão
Dessa forma, identificamos
e
.
Passo 3
Na hipérbole canônica
, a semi-distância do eixo transversal é
e a do eixo conjugado é
. Logo,
Passo 4
A distância do centro a cada foco satisfaz
. Então
e portanto
Passo 5
A excentricidade da hipérbole é dada por
Passo 6
A distância focal (entre os dois focos) é
O eixo transversal mede
e o eixo conjugado mede
Passo 7
As assíntotas de
são
logo aqui
Passo 8
Para esboçar, marcamos o centro na origem, vértices em
, focos em
e desenhamos os ramos aproximando-se das linhas assíntotas
.
Resposta
Esboço: hipérbole centrada na origem com vértices em
, focos em
e assíntotas
. Distância focal:
. Eixo transversal:
. Eixo conjugado:
. Excentricidade:
.