Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.

Passo 1

Estamos com a curva em coordenadas polares dada por r = 4(1 - sintheta). O objetivo é desenhar (esboçar) essa curva e descobrir que tipo de forma ela representa dentro do estudo de limaçons e cardioides em coordenadas polares.

Passo 2

Em polar, uma família importante é r = a + bsintheta. Aqui podemos escrever r = 4 - 4sintheta, ou seja, a=4 e b=-4. Como |b/a| = 1, estamos no caso de uma cardioide (limacon com cusp quando |b|=|a|).

Passo 3

Para entender a forma e a orientação, encontraremos pontos notáveis:
  • Para theta=0: r = 4(1 - 0) = 4.
  • Para theta=tfracpi2: r = 4(1 - 1) = 0 (cusp na origem).
  • Para theta=pi: r = 4(1 - 0) = 4.
  • Para theta=tfrac3pi2: r = 4l(1 - (-1)r) = 8 (ponto mais distante, na direção 3pi/2).

Passo 4

Com esses pontos, percebemos que a curva é simétrica em relação à reta theta=tfrac3pi2 (eixo vertical, sentido apontando para baixo), tem cusp quando theta=tfracpi2 e lóbulo que se estende até r=8 em theta=tfrac3pi2. O esboço ficará com uma forma de coração invertido (apontando para baixo).

Passo 5

Portanto, a curva r=4(1-sintheta) é uma cardioide cujo cusp está na origem para theta=tfracpi2 e que atinge o raio máximo r=8 na direção de theta=tfrac3pi2.

Resposta

É uma cardioide invertida (apontando para baixo), com cusp em theta=tfracpi2 (origem) e raio máximo r=8 em theta=tfrac3pi2.

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