Esboce e identifique os gráficos das seguintes curvas em coordenadas polares.
(k) r=2+4 sen theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a identificação da curva polar r = 2 + 4sintheta. O conteúdo envolve curvas em coordenadas polares, em especial as do tipo r = a + bsintheta. Para resolver, vamos usar a classificação em função de a e b, calcular interceptos, extremos e ver quando r muda de sinal.

Passo 2

Para curvas da forma r = a + bsintheta, temos a classificação: se |b| > |a| aparece uma alça interna (limaçon com laço interno); se |b| = |a|, é um cardioide; se |b| < |a|, é um limaçon sem alça interna. Aqui, a = 2 e b = 4, logo |b| > |a|, indicando uma alça interna.

Passo 3

Calculemos os valores extremos de r. O máximo ocorre quando sintheta = 1, em theta = pi2, então rmax = 2 + 4cdot1 = 6. O mínimo ocorre quando sintheta = -1, em theta = 3pi2, logo rmin = 2 + 4cdot(-1) = -2, confirmando que r pode ficar negativo.

Passo 4

Para achar onde a curva passa pela origem basta resolver
2 + 4sintheta = 0 implies sintheta = -tfrac12
Isso dá theta = 7pi/6 e theta = 11pi/6. Entre esses valores de theta a r é negativa, correspondendo ao laço interno.

Passo 5

No esboço, a curva é simétrica em relação ao eixo vertical (linha theta = pi2). O laço externo varia aproximadamente de theta = 11pi/6 a theta = 7pi/6 passando por r=6 em theta=pi2. O laço interno aparece entre 7pi/6 e 11pi/6, com raio máximo em módulo de 2, invertendo o sentido.

Passo 6

Com esses pontos-chave (máximos, mínimos e interceptos) fica fácil desenhar o formato: um grande laço voltado para cima e um laço menor voltado para baixo, interno ao grande.

Resposta

Limaçon de Pascal com alça interna, simétrico em relação ao eixo vertical.

Exercícios relacionados