a) ( 0.5 pt ) Esboce a região plana D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq x \leq 4, \sqrt{x} \leq y \leq 2\right\}
b) ( 2.0 pt ) Calcule a integral dupla
\iint_{D} \frac{1}{y^{3}+1} d A
Sugestão para o item (b): Escrever D como uma região do tipo 2.

Passo 1

O enunciado define a região
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\le x\le4,\;\sqrt{x}\le y\le2\}
e pede:
(a) esboçar essa região;
(b) calcular
\iint_{D}\frac{1}{y^3+1}\,dA.
Para o item (b) usaremos a técnica de descrever D como região do tipo 2 (invertendo a ordem de integração).

Passo 2

Esboço da região:
– A curva inferior é y=\sqrt{x}, que passa por (0,0) e (4,2).
– A fronteira superior é a reta horizontal y=2.
– Em x estamos entre x=0 (vertical em y\in[0,2]) e x=4.
No plano, fica a faixa limitada abaixo pela parábola e acima da reta y=2, fechada pelas retas verticais em x=0 e x=4.

Passo 3

Para descrever D como região do tipo 2, isolamos x em função de y. De \sqrt{x}\le y segue x\le y^2, e de 0\le x\le4 e y\le2 concluímos
0\le y\le2,\quad 0\le x\le y^2.
Assim,
D = \{(x,y): 0\le y\le2,\;0\le x\le y^2\}.

Passo 4

Escrevemos a integral como iterada em x primeiro:
\iint_{D}\frac{1}{y^3+1}\,dA = \int_{y=0}^{2}\Bigl(\int_{x=0}^{y^2}\frac{1}{y^3+1}\,dx\Bigr)dy.
Como \frac{1}{y^3+1} independe de x, a integral interna é
\int_{0}^{y^2}\frac{1}{y^3+1}\,dx = \frac{y^2}{y^3+1}.
Logo
\iint_{D}\frac{1}{y^3+1}\,dA = \int_{0}^{2}\frac{y^2}{y^3+1}\,dy.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{2}\frac{y^2}{y^3+1}\,dy
faço a substituição u = y^3+1, então du = 3y^2\,dy e y^2\,dy = \tfrac{du}{3}.
Quando y=0, u=1; quando y=2, u=9. Portanto
\int_{0}^{2}\frac{y^2}{y^3+1}\,dy = \int_{u=1}^{9}\frac{1}{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{1}^{9}\frac{du}{u} = \frac{1}{3}\bigl[\ln(u)\bigr]_{1}^{9} = \frac{1}{3}\ln(9).

Passo 6

Como \ln(9)=2\ln(3), concluímos
\iint_{D}\frac{1}{y^3+1}\,dA = \frac{1}{3}\ln(9) = \frac{2}{3}\ln(3).

Resposta

(a) A região é o conjunto no primeiro quadrante entre a parábola y=\sqrt{x} e a reta y=2, com x variando de 0 a 4.
(b) \displaystyle \frac{2}{3}\ln(3).

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