a) ( 0.5 pt ) Esboce a região plana
b) ( 2.0 pt ) Calcule a integral dupla
Sugestão para o item (b): Escrever
como uma região do tipo 2.
b) ( 2.0 pt ) Calcule a integral dupla
Passo 1
O enunciado define a região
e pede:
(a) esboçar essa região;
(b) calcular
(a) esboçar essa região;
(b) calcular
Para o item (b) usaremos a técnica de descrever
como região do tipo 2 (invertendo a ordem de integração).
Passo 2
Esboço da região:
– A curva inferior é , que passa por
e
.
– A fronteira superior é a reta horizontal .
– Em estamos entre
(vertical em
) e
.
No plano, fica a faixa limitada abaixo pela parábola e acima da reta , fechada pelas retas verticais em
e
.
– A curva inferior é
– A fronteira superior é a reta horizontal
– Em
No plano, fica a faixa limitada abaixo pela parábola e acima da reta
Passo 3
Para descrever
como região do tipo 2, isolamos
em função de
. De
segue
, e de
e
concluímos
Assim,
Passo 4
Escrevemos a integral como iterada em
primeiro:
Como
independe de
, a integral interna é
Logo
Passo 5
Para calcular
faço a substituição
, então
e
.
Quando ,
; quando
,
. Portanto
Quando
Passo 6
Como
, concluímos
Resposta
(a) A região é o conjunto no primeiro quadrante entre a parábola
e a reta
, com
variando de 0 a 4.
(b) .
(b)