Esboce a imagem das seguintes funções:
r9(t)=(cos t, sen t, t), t in R.

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos a curva paramétrica
r9(t) = (cos t,;sin t,;t), tinR
O conteúdo aqui é curvas em R^3: vamos analisar separadamente a projeção no plano xy e o comportamento da terceira coordenada para entender a forma da curva no espaço.

Passo 2

Projete r9 no plano xy. As duas primeiras componentes são
x=cos t, y=sin t,
que descrevem o círculo de raio 1 centrado na origem. Logo, visto de cima (na projeção sobre xy), a curva gira em volta do círculo unidade.

Passo 3

Agora olhe a componente z. Temos
z = t,
ou seja, conforme t cresce, o ponto sobe com velocidade constante de 1 unidade em z para cada unidade em t.

Passo 4

Combinar esses dois fatos significa que a curva sobe enquanto gira em torno do eixo z. Esse é exatamente o perfil de uma hélice cilíndrica de raio 1.

Passo 5

Algumas características importantes:
  • O raio é 1.
  • O passo da hélice (distância vertical por volta completa) é De<a z = 2pi, pois em um período de 2pi em t voltamos ao mesmo ângulo no círculo e subimos de z em 2pi.
  • A orientação é anti-horária quando vista de cima (porque (cos t,sin t) percorre o círculo nesse sentido).

Resposta

A imagem de é uma hélice circular de raio em torno do eixo , subindo linearmente com passo . Visando ilustrar:
(Observe mentalmente a hélice subindo do plano à medida que aumenta.)

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