Esboce a imagem das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos a curva paramétrica
O conteúdo aqui é curvas em
: vamos analisar separadamente a projeção no plano
e o comportamento da terceira coordenada para entender a forma da curva no espaço.
Passo 2
Projete
no plano
. As duas primeiras componentes são
que descrevem o círculo de raio
centrado na origem. Logo, visto de cima (na projeção sobre
), a curva gira em volta do círculo unidade.
Passo 3
Agora olhe a componente
. Temos
ou seja, conforme
cresce, o ponto sobe com velocidade constante de
unidade em
para cada unidade em
.
Passo 4
Combinar esses dois fatos significa que a curva sobe enquanto gira em torno do eixo
. Esse é exatamente o perfil de uma hélice cilíndrica de raio
.
Passo 5
Algumas características importantes:
- O raio é
. - O passo da hélice (distância vertical por volta completa) é
, pois em um período de em voltamos ao mesmo ângulo no círculo e subimos de em . - A orientação é anti-horária quando vista de cima (porque
percorre o círculo nesse sentido).
Resposta
A imagem de
é uma hélice circular de raio
em torno do eixo
, subindo linearmente com passo
. Visando ilustrar:
(Observe mentalmente a hélice subindo do plano
à medida que
aumenta.)