Questão 0.2. Considere
tal que
. O escalar 0 é um autovalor de
? Justifique sua resposta!
Passo 1
O enunciado define o operador linear
e pergunta se o escalar
é um autovalor de
. Para responder, vamos usar a definição de autovalor em espaços vetoriais.
Passo 2
Por definição, um escalar
é autovalor de
se existir um polinômio não-nulo
tal que
No nosso caso, queremos testar
, ou seja, resolver
isto é,
Passo 3
A equação
implica que
é constante em
. Logo,
onde
é um escalar. Para que
seja um vetor próprio válido, precisamos de
, ou seja,
.
Passo 4
Como existe pelo menos um polinômio não-nulo (por exemplo
) que satisfaz
, concluímos que
é autovalor de
. O espaço próprio associado a
é justamente o conjunto dos polinômios constantes não-nulos.
Resposta
Sim. O escalar
é autovalor de
, pois qualquer polinômio constante não-nulo satisfaz