Questão 0.2. Considere D: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}) tal que D(p(x))=\frac{d p(x)}{d x}. O escalar 0 é um autovalor de D ? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado define o operador linear
D: P(\mathbb{R}) \to P(\mathbb{R}),\quad D\bigl(p(x)\bigr)=\frac{dp(x)}{dx}
e pergunta se o escalar 0 é um autovalor de D. Para responder, vamos usar a definição de autovalor em espaços vetoriais.

Passo 2

Por definição, um escalar \lambda é autovalor de D se existir um polinômio não-nulo p(x) tal que
D\bigl(p(x)\bigr)=\lambda\,p(x).
No nosso caso, queremos testar \lambda=0, ou seja, resolver
D\bigl(p(x)\bigr)=0\cdot p(x)=0,
isto é,
\frac{dp(x)}{dx}=0.

Passo 3

A equação \tfrac{dp(x)}{dx}=0 implica que p(x) é constante em x. Logo,
p(x)=C,
onde C é um escalar. Para que p(x) seja um vetor próprio válido, precisamos de p\neq0, ou seja, C\neq0.

Passo 4

Como existe pelo menos um polinômio não-nulo (por exemplo p(x)=1) que satisfaz D(p)=0, concluímos que 0 é autovalor de D. O espaço próprio associado a 0 é justamente o conjunto dos polinômios constantes não-nulos.

Resposta

Sim. O escalar 0 é autovalor de D, pois qualquer polinômio constante não-nulo satisfaz
D\bigl(p(x)\bigr)=p'(x)=0=0\cdot p(x).

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