Use qualquer método para calcular o limite ou determine que ele não existe.
lim(x,y) (0,0) xyraiz3x^2+2y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função xyraiz3x^2+2y^2 quando (x,y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar expressões envolvendo x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,theta), onde x = rcostheta e y = rsintheta. Isso é útil porque, quando r tende a 0, estamos nos aproximando da origem (0,0).

Passo 3

Substituindo x e y na função original, temos:
xyraiz3x^2+2y^2 = (rcostheta)(rsintheta)raiz3(rcostheta)^2 + 2(rsintheta)^2

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Numerador:
(rcostheta)(rsintheta) = r^2costhetasintheta
Denominador:
raiz3(rcostheta)^2 + 2(rsintheta)^2 = raiz3r^2cos^2theta + 2r^2sin^2theta = rraiz3cos^2theta + 2sin^2theta

Passo 5

Agora, substituindo de volta na função:
r^2costhetasinthetarraiz3cos^2theta + 2sin^2theta = rcosthetasinthetaraiz3cos^2theta + 2sin^2theta

Passo 6

Observamos que, à medida que r tende a 0, o numerador rcosthetasintheta também tende a 0, já que é multiplicado por r. O denominador raiz3cos^2theta + 2sin^2theta permanece limitado, pois costheta e sintheta são funções trigonométricas que variam entre -1 e 1.

Passo 7

Portanto, o comportamento da função é dominado pelo termo r no numerador, fazendo com que todo o limite tenda a 0 quando r 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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