Resolva a EDO dada pelo método dos coeficientes indeterminados:
y^prime prime+y=8 cdot sen^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y''+y=8sin^2t usando coeficientes indeterminados. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes, então precisamos achar a solução homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo a solução homogênea é yh=C1cos t+C2sin t.

Passo 3

Para tratar o termo fonte, usamos a identidade trigonométrica sin^2t=tfrac12(1-cos2t). Assim
8sin^2t=8cdot 1-cos2t2=4-4cos2t

Passo 4

Propomos, pelo método dos coeficientes indeterminados, uma solução particular da forma
yp=A+Bcos2t+Csin2t,
pois o lado direito é combinação de constante e cos2t, e não há conflito com as raízes homogêneas.

Passo 5

Calculamos as derivadas:
yp'=-2Bsin2t+2Ccos2t,
yp''=-4Bcos2t-4Csin2t

Passo 6

Substituindo em y''+y e igualando a 4-4cos2t obtemos:
yp''+yp=(A)+(-4B+B)cos2t+(-4C+C)sin2t=A-3Bcos2t-3Csin2t

Passo 7

Comparando termos temos
A=4, -3B=-4 Rightarrow B=tfrac43, -3C=0 Rightarrow C=0

Passo 8

Logo a particular é yp=4+tfrac43cos2t. A solução geral é a soma de homogênea e particular.

Resposta

y(t)=C1cos t+C2sin t+4+tfrac43cos2t

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