Esboce um mapa de indiferença composto por retas paralelas, negativamente inclinadas, com as preferências aumentandona direção nordeste. Sabe-se que tais preferências satisfazem os Axiomas completude, transitividade, continuidade e monotonicidade estrita. Prove que elas também satisfazem o Axioma convexidade estrita. Prove que elas não satisfazem o Axioma convexidade.
Passo 1
O enunciado pede um mapa de indiferença formado por retas paralelas, de inclinação negativa, com “mais ao nordeste” estritamente melhor. Esse tipo de mapa representa preferências de bens perfeitamente substitutos, que são monotônicas (mais de qualquer bem aumenta a utilidade), contínuas e linearmente ordenadas. Vamos mostrar que, para essas preferências lineares, o conjunto de preferidos a qualquer fecho é convexo (axioma de convexidade), mas não temos a propriedade de que qualquer mistura estrita de dois pacotes indiferentes seja estritamente melhor (logo, falha a convexidade estrita).
Passo 2
Para retas paralelas de inclinação negativa e monotonicidade estrita podemos representar as preferências por uma utilidade linear
com
e
. Nesse caso, “
” se, e somente se,
As curvas de indiferença são dadas por
, ou seja, retas de coeficiente angular
.
Passo 3
Mostremos o axioma de convexidade (não-estrita). Tome dois pacotes
. Seja
e considere a mistura
Pela linearidade de
,
logo
. Isso prova que o conjunto
é convexo, ou seja, satisfaz o axioma de convexidade.
Passo 4
Verifiquemos agora a convexidade estrita. Axiomaticamente dizemos que as preferências são estritamente convexas se, sempre que
e
, então para todo
vale
Mas como
é linear, se
então
Logo a mistura permanece indiferente aos originais, e não estritamente preferida. Assim, falha o axioma de convexidade estrita.
Resposta
As preferências geradas por retas paralelas de inclinação negativa satisfazem o axioma de convexidade (às misturas de um pacote preferido com um menos preferido, o resultado é ao menos tão bom quanto o pior) mas não satisfazem o axioma de convexidade estrita (misturas de dois pacotes indiferentes permanecem indiferentes).