Esboce um mapa de indiferença que satisfaz os Axiomas completude, transitividade, continuidade e monotonicidade estrita, cujos conjuntos de indiferença são convexos com relação à origem em alguns lugares e contém segmentos lineares em outros. Prove que tais preferências são consistentes com o Axioma convexidade, mas violam o Axioma Convexidade estrita.

Passo 1

Estamos num ambiente com dois bens, x e y, e queremos uma preferência que seja completa, transitiva, contínua e estritamente monotônica, cujas curvas de indiferença sejam às vezes curvas convexas ao redor da origem e em outros trechos sejam segmentos de reta. Vamos construir uma função de utilidade que represente essas preferências e depois verificar que ela satisfaz o Axioma da convexidade (preferências convexas) mas falha no Axioma da convexidade estrita (preferências estritamente convexas).

Passo 2

Definimos a utilidade
u(x,y) ;=;minx,y;+;tfracx+y100,,
para x>=0 e y>=0.
– A parte minx,y gera curvas de indiferença em “L” (como em bens complementares perfeitos), convexas ao redor da origem.
– O termo tfracx+y100 garante estrita monotonicidade e “arredonda” a junção das duas metades em dois segmentos lineares.

Passo 3

(Completude e transitividade)
Como montamos uma única função real u que atribui a todo (x,y) um valor em R, definimos
(x,y)succeq(x',y')se, e só se, u(x,y)>= u(x',y'), ó
Esse critério é completo (para quaisquer dois pontos u compara) e transitivo (pretende-se que “ >=” em R o seja).

Passo 4

(Continuidade e estrita monotonicidade)
  1. A função minx,y é contínua, bem como o somatório tfracx+y100. Logo u é contínua.
  2. Para todo De<a x>0 ou De<a y>0, observa-se que u(x+De<a x,y);-;u(x,y) ;=;l[minx+De<a x,y-minx,yr] +tfracDe<a x100 ;>;0, pois tfracDe<a x100>0 e mincdot não diminui quando um argumento aumenta. Analogamente em De<a y>0. Logo u é estritamente crescente em cada bem.

Passo 5

(Convexidade dos mapas de preferência)
Bastaria ver que u é concava (ou ao menos quasi-concava), pois isso garante que os conjuntos
(x,y)mid u(x,y)>= k são convexos.
  1. minx,y é uma função côncava em R+^2.
  2. tfracx+y100 é afim (e portanto côncava).
  3. Soma de funções côncavas é côncava.
    Logo u é côncava, o que implica que as preferências são convexas (Axioma da convexidade fraca).

Passo 6

(Violação da convexidade estrita)
Para violar a convexidade estrita, basta encontrar duas cestas distintas (x1,y1)neq(x2,y2) que sejam indiferentes ( u(x1,y1)=u(x2,y2)) e tal que a mistura convexe
l(lambda x1+(1-lambda)x2,;lambda y1+(1-lambda)y2r) também seja indiferente.
Escolha por exemplo dois pontos na região onde x<= y e, portanto,
u(x,y)=x+x+y100=1,01,x+0,01,y
Suponha que
u(x1,y1)=u(x2,y2)=k com xi<= yi
Então, para qualquer 0<lambda<1, a mistura
l(bar x,bar yr)=l(lambda x1+(1-lambda)x2,;lambda y1+(1-lambda)y2r)
satisfaz bar x<=bar y e
u(bar x,bar y) =1,01,bar x+0,01,bar y =lambda,u(x1,y1)+(1-lambda),u(x2,y2) =lambda,k+(1-lambda),k =k
Logo a mistura não é estritamente preferida, apenas indiferente. Isso mostra que a preferência não é estritamente convexa.

Resposta

A função
u(x,y)=minx,y+x+y100
gera curvas de indiferença convexas em zonas curvas e segmentos lineares em zonas de reta. Ela satisfaz completude, transitividade, continuidade e monotonicidade estrita, e garante preferências convexas (quasi-concavidade de u), mas falha no Axioma da convexidade estrita pois permite segmentos lineares de indiferença.

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