Esboce um mapa de indiferença que satisfaz os Axiomas completude, transitividade, continuidade e monotonicidade estrita, cujos conjuntos de indiferença são convexos com relação à origem em alguns lugares e contém segmentos lineares em outros. Prove que tais preferências são consistentes com o Axioma convexidade, mas violam o Axioma Convexidade estrita.
Passo 1
Estamos num ambiente com dois bens,
e
, e queremos uma preferência que seja completa, transitiva, contínua e estritamente monotônica, cujas curvas de indiferença sejam às vezes curvas convexas ao redor da origem e em outros trechos sejam segmentos de reta. Vamos construir uma função de utilidade que represente essas preferências e depois verificar que ela satisfaz o Axioma da convexidade (preferências convexas) mas falha no Axioma da convexidade estrita (preferências estritamente convexas).
Passo 2
Definimos a utilidade
para
e
.
– A parte gera curvas de indiferença em “L” (como em bens complementares perfeitos), convexas ao redor da origem.
– O termo garante estrita monotonicidade e “arredonda” a junção das duas metades em dois segmentos lineares.
– A parte
– O termo
Passo 3
(Completude e transitividade)
Como montamos uma única função real que atribui a todo
um valor em
, definimos
Como montamos uma única função real
Esse critério é completo (para quaisquer dois pontos
compara) e transitivo (pretende-se que “
” em
o seja).
Passo 4
(Continuidade e estrita monotonicidade)
- A função
é contínua, bem como o somatório . Logo é contínua. - Para todo
ou , observa-se que pois e não diminui quando um argumento aumenta. Analogamente em . Logo é estritamente crescente em cada bem.
Passo 5
(Convexidade dos mapas de preferência)
Bastaria ver que é concava (ou ao menos quasi-concava), pois isso garante que os conjuntos
são convexos.
Bastaria ver que
-
é uma função côncava em . -
é afim (e portanto côncava). - Soma de funções côncavas é côncava.
Logoé côncava, o que implica que as preferências são convexas (Axioma da convexidade fraca).
Passo 6
(Violação da convexidade estrita)
Para violar a convexidade estrita, basta encontrar duas cestas distintas que sejam indiferentes (
) e tal que a mistura convexe
também seja indiferente.
Escolha por exemplo dois pontos na região onde e, portanto,
Para violar a convexidade estrita, basta encontrar duas cestas distintas
Escolha por exemplo dois pontos na região onde
Suponha que
Então, para qualquer
, a mistura
satisfaz e
satisfaz
Logo a mistura não é estritamente preferida, apenas indiferente. Isso mostra que a preferência não é estritamente convexa.
Resposta
A função
gera curvas de indiferença convexas em zonas curvas e segmentos lineares em zonas de reta. Ela satisfaz completude, transitividade, continuidade e monotonicidade estrita, e garante preferências convexas (quasi-concavidade de
), mas falha no Axioma da convexidade estrita pois permite segmentos lineares de indiferença.