Seja S o conjunto de todas as pessoas na terra. Seja R a relação definida pela declaração ama. R é completa? Transitiva?

Passo 1

O enunciado define S como o conjunto de todas as pessoas na Terra e a relação
R = (x,y)mid x ama y
O conteúdo aqui é teoria de relações binárias: precisamos usar as definições de relação completa (ou total) e de relação transitiva para verificar se R satisfaz cada propriedade.

Passo 2

Definição de relação completa (ou total):
Uma relação R em S é completa se, para todo par de elementos x,yin S com xneq y, vale
xRyou yRx
No nosso caso isso significaria que, para quaisquer duas pessoas A e B, ou A ama B ou B ama A. Mas basta pensar em duas pessoas que não se conhecem ou não nutrem afeição mútua: nenhuma ama a outra, violando a condição. Logo R não é completa.

Passo 3

Definição de transitividade:
Uma relação R em S é transitiva se, sempre que xRy e yRz, ocorre xRz.
Na relação “ama” poderíamos ter, por exemplo, João ama Maria e Maria ama José, mas João não ama José. Isso falha a condição de transitividade. Portanto R não é transitiva.

Resposta

R não é completa e não é transitiva.

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