Prove que uma dada função utilidade somente representa uma relação de preferência se esta for racional.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, se existe uma função utilidade u que representa uma relação de preferência succeq em um conjunto de cestas X, então essa relação succeq é racional, ou seja, é completa e transitiva. Lembrando que dizer que u representa succeq significa:
para quaisquer x,yin X, xsucceq y Long<=ftrightarrow u(x)>= u(y)

Passo 2

(Completude)
Para toda par de cestas x,yin X, os números reais u(x) e u(y) são comparáveis, pois R é totalmente ordenado. Logo, ou
u(x)>= u(y) ou u(y)>= u(x)
Pela definição de representação, isso implica que ou xsucceq y ou ysucceq x. Assim, succeq é completa.

Passo 3

(Transitividade)
Suponha x,y,zin X com xsucceq y e ysucceq z. Pela representação em utilidade,
u(x)>= u(y) e u(y)>= u(z)
Pela transitividade da ordem em R temos
u(x)>= u(z)
Aplicando novamente a definição de representação, segue xsucceq z. Logo, succeq é transitiva.

Resposta

Como succeq é ao mesmo tempo completa e transitiva, concluímos que ela é racional.

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