Prove que uma dada função utilidade somente representa uma relação de preferência se esta for racional.
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, se existe uma função utilidade
que representa uma relação de preferência
em um conjunto de cestas
, então essa relação
é racional, ou seja, é completa e transitiva. Lembrando que dizer que
representa
significa:
Passo 2
(Completude)
Para toda par de cestas , os números reais
e
são comparáveis, pois
é totalmente ordenado. Logo, ou
Para toda par de cestas
Pela definição de representação, isso implica que ou
ou
. Assim,
é completa.
Passo 3
(Transitividade)
Suponha com
e
. Pela representação em utilidade,
Suponha
Pela transitividade da ordem em
temos
Aplicando novamente a definição de representação, segue
. Logo,
é transitiva.
Resposta
Como
é ao mesmo tempo completa e transitiva, concluímos que ela é racional.