Prove que se
é uma relação de preferência, então a relação de preferência
é transitiva e a relação
é transitiva. Mostre também que se
, então
.
Passo 1
Resumindo o que temos e o que precisamos provar. Suponha que
é uma relação de preferência (i.e. completa e transitiva). Definimos a preferência estrita
e a indiferença
por
Precisamos mostrar que
.
é transitiva;
.
é transitiva;
. se
e
, então
.
Passo 2
Prova da transitividade de
. Suponha
e
. Então
.
implica
e
.
.
implica
e
.
Pela transitividade de temos
. Se, por absurdo, tivéssemos
, então por transitividade entre
e
viria
, o que junto com
daria
, contradizendo
. Logo
, e assim
Pela transitividade de
Passo 3
Prova da transitividade de
. Suponha
e
. Então
.
dá
e
.
.
dá
e
.
Pela transitividade em cada cadeia obtemos (de
e
) e
(de
e
). Portanto
Pela transitividade em cada cadeia obtemos
Passo 4
Prova de que
e
implicam
. De
tiramos
. Como também
, pela transitividade de
segue imediatamente
Resposta
A preferência estrita
é transitiva, a indiferença
é transitiva, e sempre que
e
temos
.