Prove que se succsim é uma relação de preferência, então a relação de preferência succ é transitiva e a relação sim é transitiva. Mostre também que se x sim y succsim z, então x succsim z.

Passo 1

Resumindo o que temos e o que precisamos provar. Suponha que succsim é uma relação de preferência (i.e. completa e transitiva). Definimos a preferência estrita succ e a indiferença sim por
x succ y iff x succsim y e negl(y succsim xr),
x sim y iff x succsim y e y succsim x
Precisamos mostrar que
1. succ é transitiva;
2. sim é transitiva;
3. se x sim y e y succsim z, então x succsim z.

Passo 2

Prova da transitividade de succ. Suponha x succ y e y succ z. Então
1. x succ y implica x succsim y e neg(y succsim x).
2. y succ z implica y succsim z e neg(z succsim y).
Pela transitividade de succsim temos x succsim z. Se, por absurdo, tivéssemos z succsim x, então por transitividade entre z succsim x e x succsim y viria z succsim y, o que junto com y succsim z daria z sim y, contradizendo neg(z succsim y). Logo neg(z succsim x), e assim
x succ z

Passo 3

Prova da transitividade de sim. Suponha x sim y e y sim z. Então
1. x sim y x succsim y e y succsim x.
2. y sim z y succsim z e z succsim y.
Pela transitividade em cada cadeia obtemos x succsim z (de x succsim y e y succsim z) e z succsim x (de z succsim y e y succsim x). Portanto
x sim z

Passo 4

Prova de que x sim y e y succsim z implicam x succsim z. De x sim y tiramos x succsim y. Como também y succsim z, pela transitividade de succsim segue imediatamente
x succsim z

Resposta

A preferência estrita succ é transitiva, a indiferença sim é transitiva, e sempre que x sim y e y succsim z temos x succsim z.

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