Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem dydt=-1 com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é campo de direções e curvas integrais de uma EDO. Para esboçar as curvas integrais sem resolver, vamos usar o campo de direções.

Passo 2

O campo de direções (ou linhas de inclinação) é construído desenhando, em vários pontos (t,y) do plano, um pequeno segmento cuja inclinação é dada por dydt naquele ponto. Aqui dydt=-1 é constante, independentemente de t e y.
Como a inclinação é a mesma em todo ponto, os segmentos têm sempre declive -1. Portanto, as curvas integrais são retas cujo declive é -1, ou seja, retas paralelas.

Passo 3

Cada curva integral intercepta o eixo y em um ponto C. Embora não queiramos resolver explicitamente, fica claro que a família é de retas de declive -1 e intercepto variável C.

Passo 4

Para atender a condição y(0)=2, basta escolher a reta que cruza o eixo y em y=2. No esboço, desenhe essa reta e mais algumas paralelas (por exemplo, passando em y=0,1,3, etc.).

Resposta

Família de retas paralelas de declive -1 no plano (t,y); a reta que satisfaz y(0)=2 é a que intercepta o eixo y em 2.

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