Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.
Esboce membros da família das curvas integrais dessas EDOs sem resolvê-las.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
com condição inicial
. O conteúdo é campo de direções e curvas integrais de uma EDO. Para esboçar as curvas integrais sem resolver, vamos usar o campo de direções.
Passo 2
O campo de direções (ou linhas de inclinação) é construído desenhando, em vários pontos
do plano, um pequeno segmento cuja inclinação é dada por
naquele ponto. Aqui
é constante, independentemente de
e
.
Como a inclinação é a mesma em todo ponto, os segmentos têm sempre declive . Portanto, as curvas integrais são retas cujo declive é
, ou seja, retas paralelas.
Como a inclinação é a mesma em todo ponto, os segmentos têm sempre declive
Passo 3
Cada curva integral intercepta o eixo
em um ponto
. Embora não queiramos resolver explicitamente, fica claro que a família é de retas de declive
e intercepto variável
.
Passo 4
Para atender a condição
, basta escolher a reta que cruza o eixo
em
. No esboço, desenhe essa reta e mais algumas paralelas (por exemplo, passando em
, etc.).
Resposta
Família de retas paralelas de declive
no plano
; a reta que satisfaz
é a que intercepta o eixo
em 2.