Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
Vamos calcular I=∫₀^∞ x
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx usando o método dos resíduos. Observação do enunciado e conteúdo: é um integral impróprio de função oscilatória. Vamos usar teoria de integrais de funções racionais multiplicadas por e^{i
a
x} e contorno no semiplano superior, extraindo a parte imaginária.
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx usando o método dos resíduos. Observação do enunciado e conteúdo: é um integral impróprio de função oscilatória. Vamos usar teoria de integrais de funções racionais multiplicadas por e^{i
a
x} e contorno no semiplano superior, extraindo a parte imaginária.
Passo 2
Definimos a integral-complexa f(z)=z
e^{i
a
z}/(z⁴+4). Como a>0, e^{i
a
z}=e^{i
a
x}e^{-a
y} decai para Im
z>0.
e^{i
a
z}/(z⁴+4). Como a>0, e^{i
a
z}=e^{i
a
x}e^{-a
y} decai para Im
z>0.
Passo 3
As raízes de z⁴+4=0 são z_k=√2
e^{i(π/4+k
π/2)}, k=0,1,2,3. No semiplano superior temos z₀=1+i e z₁=−1+i.
e^{i(π/4+k
π/2)}, k=0,1,2,3. No semiplano superior temos z₀=1+i e z₁=−1+i.
Passo 4
Pelo teorema dos resíduos, ∫_{−∞}^∞ f(x)
dx =2πi
(Res[f,z₀]+Res[f,z₁]).
dx =2πi
(Res[f,z₀]+Res[f,z₁]).
Passo 5
Cada resíduo é Res[f,z_k]=lim_{z→z_k}(z−z_k)z
e^{i
a
z}/(z⁴+4)=z_k
e^{i
a
z_k}/(4
z_k³)=e^{i
a
z_k}/(4
z_k²).
e^{i
a
z}/(z⁴+4)=z_k
e^{i
a
z_k}/(4
z_k³)=e^{i
a
z_k}/(4
z_k²).
Passo 6
Calculamos z₀²=2
i e z₁²=−2
i; então Res[f,z₀]=e^{i
a(1+i)}/(8
i) e Res[f,z₁]=−e^{i
a(−1+i)}/(8
i). Somando, Res₀+Res₁=(e^{-a}
sin
a)/4.
i e z₁²=−2
i; então Res[f,z₀]=e^{i
a(1+i)}/(8
i) e Res[f,z₁]=−e^{i
a(−1+i)}/(8
i). Somando, Res₀+Res₁=(e^{-a}
sin
a)/4.
Passo 7
Logo ∫_{−∞}^∞ f(x)
dx =2πi·(e^{-a}
sin
a/4). Mas ∫_{−∞}^∞ f(x)
dx =∫x
e^{i
a
x}/(x⁴+4)
dx =2i
∫₀^∞ x
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx.
dx =2πi·(e^{-a}
sin
a/4). Mas ∫_{−∞}^∞ f(x)
dx =∫x
e^{i
a
x}/(x⁴+4)
dx =2i
∫₀^∞ x
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx.
Passo 8
Igualando, 2i
I =2πi·(e^{-a}
sin
a/4) ⇒ I=π·(e^{-a}
sin
a/4).
Portanto ∫₀^∞ x
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx = (π/4)e^{-a}
sin
a.
I =2πi·(e^{-a}
sin
a/4) ⇒ I=π·(e^{-a}
sin
a/4).
Portanto ∫₀^∞ x
sin(a
x)/(x⁴+4)
dx = (π/4)e^{-a}
sin
a.