Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere a>0.
integral0^infty cos (a x) d xx^2+1=pi2 e^-a

Passo 1

Neste exercício queremos provar que integral0^infty cos(ax)x^2+1,dx=tfracpi2e^-a para a>0 usando o método de resíduos. O conteúdo aqui envolve o Teorema dos Resíduos de Cauchy e o Lema de Jordan para mostrar que certas integrais de contorno desaparecem.

Passo 2

Introduzimos a função de variável complexa f(z)=e^iazz^2+1 e consideramos o contorno formado pelo eixo real de -R a R mais o semicírculo CR de raio R no semiplano superior. Como a>0, o Lema de Jordan garante que integralCRf(z),dzto0 quando Rtoinfty.

Passo 3

Os polos de f(z) são z=i e z=-i. No semiplano superior fica apenas z=i. Pelo Teorema dos Resíduos,
integral-R^Re^iazz^2+1,dz+integralCRf(z),dz=2pi i,Res(f,i)

Passo 4

Calculamos a resíduo em z=i:
Res(f,i)=limzto i(z-i)e^iaz(z-i)(z+i)=e^iai2i=e^-a2i

Passo 5

Fazendo Rtoinfty e usando que integralCRfto0, obtemos:
integral-infty^inftye^iaxx^2+1,dx=2pi icdote^-a2i=pi e^-a

Passo 6

Como e^iax=cos(ax)+isin(ax) e sin(ax)/(x^2+1) é função ímpar,
integral-infty^inftycos(ax)x^2+1,dx=Rel(pi e^-ar)=pi e^-a

Passo 7

Finalmente, pelo integrando par de cos(ax)/(x^2+1),
integral0^inftycos(ax)x^2+1,dx=tfrac12integral-infty^inftycos(ax)x^2+1,dx=tfracpi2e^-a

Resposta

integral0^infty cos(ax)x^2+1,dx=pi2e^-a

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