Use resíduos para provar que as integrais abaixo convergem para os valores indicados. Considere
.
Passo 1
Neste exercício queremos provar que
para
usando o método de resíduos. O conteúdo aqui envolve o Teorema dos Resíduos de Cauchy e o Lema de Jordan para mostrar que certas integrais de contorno desaparecem.
Passo 2
Introduzimos a função de variável complexa
e consideramos o contorno formado pelo eixo real de
a
mais o semicírculo
de raio
no semiplano superior. Como
, o Lema de Jordan garante que
quando
.
Passo 3
Os polos de
são
e
. No semiplano superior fica apenas
. Pelo Teorema dos Resíduos,
Passo 4
Calculamos a resíduo em
:
Passo 5
Fazendo
e usando que
, obtemos:
Passo 6
Como
e
é função ímpar,
Passo 7
Finalmente, pelo integrando par de
,