Seja S o subespaço de M(2,2) :
S=(cca-b & 2 a a+b & -b) ; a, b in I R
Pergunta-se:
a) (ll5 & 6 1 & 2) in S ?
b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor (cc-4 & k 2 & -3) pertença a S ?

Passo 1

O enunciado define o subespaço Ssubset M(2,2) formado por todas as matrizes da forma\r
a - b & 2a a + b & -b ,
onde a,binR. Precisamos\r
  1. verificar se 5&61&2 pertence a S, e \r
  2. determinar o valor de k para que -4&k2&-3 fique em S.

Passo 2

Para (a), igualamos as entradas da matriz genérica às da dada:\r
(a - b,,2a,,a + b,,-b) = (5,,6,,1,,2) \r
De 2a=6 segue\r
a=3 \r
De -b=2 segue\r
b=-2 \r
Verificamos as demais entradas:\r
a - b = 3 -(-2) =5, a + b = 3 +(-2) =1, \r
logo todas batem e a matriz pertence a S.

Passo 3

Para (b), queremos\r
(a - b,,2a,,a + b,,-b) = (-4,,k,,2,,-3) \r
De -b=-3 obtemos\r
b=3, \r
e de a + b = 2 obtemos\r
a = 2 - 3 = -1 \r
Portanto\r
k = 2a = 2cdot(-1) = -2

Resposta

(a) Sim, 5&61&2in S (com a=3,b=-2). \r
(b) Para que -4&k2&-3in S é preciso k = -2.

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