Obtenha a equação geral e a equação reduzida da elipse cujos focos são (-1,-1),(1,1) e cuja medida do eixo menor é a=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral e a equação reduzida de uma elipse. Os dados que temos são os focos da elipse: (-1,-1) e (1,1), e a medida do eixo menor que é a = 3.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as propriedades das elipses, como o centro, os eixos maior e menor, e a relação entre esses elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio dos dois focos. Para achar o ponto médio entre (-1,-1) e (1,1), usamos a fórmula do ponto médio:
(h, k) = ( x1 + x22, y1 + y22 )
Substituindo os valores:
(h, k) = ( -1 + 12, -1 + 12 ) = (0, 0)
Então, o centro da elipse é no ponto (0, 0).

Passo 3

Agora, vamos entender os eixos da elipse. Temos a medida do eixo menor, que é a = 3. Lembre-se que, em uma elipse:
  • a representa o raio do eixo maior.
  • b representa o raio do eixo menor.
No entanto, na notação tradicional, geralmente usamos a para o eixo maior e b para o eixo menor. Mas como a questão nos dá a = 3 como o eixo menor, vamos adaptar nossa notação:
b = 3

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de a (raio do eixo maior). Para isso, usamos a relação entre a, b e c (a distância do centro aos focos):
c^2 = a^2 - b^2
Primeiro, vamos calcular c. Sabemos os focos: (-1,-1) e (1,1). A distância entre os focos é:
2c = raiz(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = raiz(2)^2 + (2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Então:
c = raiz2
Agora, substituímos na fórmula:
(raiz2)^2 = a^2 - 3^2 2 = a^2 - 9 a^2 = 11 a = raiz11

Passo 5

Com os valores de a e b determinados, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o centro é (0, 0), a equação padrão da elipse é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Substituindo a = raiz11 e b = 3:
x^211 + y^29 = 1

Passo 6

Agora, vamos transformar a equação reduzida na equação geral da elipse. Para isso, multiplicamos todos os termos por 99 (que é o mínimo múltiplo comum de 11 e 9):
x^211 times 99 + y^29 times 99 = 1 times 99 9x^2 + 11y^2 = 99
Essa é a equação geral da elipse.

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
x^211 + y^29 = 1
E a equação geral da elipse é:
9x^2 + 11y^2 = 99

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