Obtenha a equação geral e a equação reduzida da elipse cujos focos são
e cuja medida do eixo menor é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação geral e a equação reduzida de uma elipse. Os dados que temos são os focos da elipse:
e
, e a medida do eixo menor que é
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as propriedades das elipses, como o centro, os eixos maior e menor, e a relação entre esses elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro está exatamente no meio dos dois focos. Para achar o ponto médio entre
e
, usamos a fórmula do ponto médio:
Substituindo os valores:
Então, o centro da elipse é no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos entender os eixos da elipse. Temos a medida do eixo menor, que é
. Lembre-se que, em uma elipse:
-
representa o raio do eixo maior. -
representa o raio do eixo menor.
No entanto, na notação tradicional, geralmente usamos
para o eixo maior e
para o eixo menor. Mas como a questão nos dá
como o eixo menor, vamos adaptar nossa notação:
Passo 4
Precisamos encontrar o valor de
(raio do eixo maior). Para isso, usamos a relação entre
,
e
(a distância do centro aos focos):
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos os focos:
e
. A distância entre os focos é:
Então:
Agora, substituímos na fórmula:
Passo 5
Com os valores de
e
determinados, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o centro é
, a equação padrão da elipse é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, vamos transformar a equação reduzida na equação geral da elipse. Para isso, multiplicamos todos os termos por 99 (que é o mínimo múltiplo comum de 11 e 9):
Essa é a equação geral da elipse.
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
E a equação geral da elipse é: