Esboce no plano x 0 y a curva de nível da função f(x, y)=72x y que passa pelo ponto (2,6) e o vetor gradiente da função neste ponto com origem no ponto (2,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar no plano xy a curva de nível da função f(x, y) = 72xy que passa pelo ponto (2, 6) . Além disso, precisamos encontrar o vetor gradiente dessa função nesse ponto, começando de (2, 6) . Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curva de nível é o conjunto de pontos (x, y) onde a função f(x, y) assume um valor constante. Ou seja, f(x, y) = k , onde k é uma constante.

Passo 3

Sabemos que a curva de nível passa pelo ponto (2, 6) . Então, vamos calcular o valor de k substituindo x = 2 e y = 6 na função:
k = f(2, 6) = 722 times 6 = 7212 = 6
Então, a curva de nível que nos interessa é f(x, y) = 6 .

Passo 4

Agora, vamos expressar a equação da curva de nível:
72xy = 6
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por xy :
72 = 6xy
Agora, isolando y :
y = 726x = 12x
Então, a curva de nível é dada por y = 12x , que é uma hipérbole.

Passo 5

Vamos esboçar essa curva no plano xy . Para isso, podemos plotar alguns pontos:
  • Quando x = 3 , y = 4
  • Quando x = 4 , y = 3
  • Quando x = 6 , y = 2
  • E claro, passa por (2, 6)
Conectando esses pontos, temos uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função f(x, y) = 72xy no ponto (2, 6) .
O gradiente nabla f de f(x, y) é dado pelas derivadas parciais em relação a x e y :
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )

Passo 7

Calculando a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x ( 72xy ) = -72x^2 y
Calculando a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y ( 72xy ) = -72x y^2

Passo 8

Substituindo x = 2 e y = 6 nas derivadas parciais:
partial fpartial xg|(2,6) = -72(2)^2 times 6 = -7224 = -3
partial fpartial yg|(2,6) = -722 times (6)^2 = -7272 = -1

Passo 9

Então, o vetor gradiente no ponto (2, 6) é:
nabla f(2,6) = (-3, -1)
Esse vetor indica a direção de maior aumento da função naquele ponto.

Resposta

A curva de nível é a hipérbole y = 12x que passa pelo ponto (2, 6) . O vetor gradiente da função no ponto (2, 6) é (-3, -1) .

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