Esboce no plano a curva de nível da função que passa pelo ponto e o vetor gradiente da função neste ponto com origem no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar no plano a curva de nível da função que passa pelo ponto . Além disso, precisamos encontrar o vetor gradiente dessa função nesse ponto, começando de . Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante. Ou seja, , onde é uma constante.
Passo 3
Sabemos que a curva de nível passa pelo ponto . Então, vamos calcular o valor de substituindo e na função:
Então, a curva de nível que nos interessa é .
Passo 4
Agora, vamos expressar a equação da curva de nível:
Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados por :
Agora, isolando :
Então, a curva de nível é dada por , que é uma hipérbole.
Passo 5
Vamos esboçar essa curva no plano . Para isso, podemos plotar alguns pontos:
Quando ,
Quando ,
Quando ,
E claro, passa por
Conectando esses pontos, temos uma hipérbole com ramos no primeiro e terceiro quadrantes.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função no ponto .
O gradiente de é dado pelas derivadas parciais em relação a e :