A superfície de um lago é representada por uma região A no plano x 0 y, de modo que a profundidade, em metros, sob o ponto (x, y), é dada por P(x, y)=500-3 x^2-6 y^2. Em que direção um bote no ponto (10,5) deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente ?

Passo 1

Então, a gente tem um problema sobre a profundidade de um lago. A profundidade em cada ponto (x, y) é dada pela função P(x, y) = 500 - 3x^2 - 6y^2. A pergunta é: em que direção um barco no ponto (10, 5) deve navegar para que a profundidade da água diminua o mais rápido possível? Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente é relacionada ao gradiente da função P(x, y). O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função, então para a diminuição mais rápida, vamos considerar a direção oposta ao gradiente.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de P(x, y). O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y. Ou seja,
nabla P(x, y) = ( partial Ppartial x, partial Ppartial y )

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial x = partialpartial x(500 - 3x^2 - 6y^2) = -6x
partial Ppartial y = partialpartial y(500 - 3x^2 - 6y^2) = -12y
Então,
nabla P(x, y) = (-6x, -12y)

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico (10, 5):
nabla P(10, 5) = (-6 times 10, -12 times 5) = (-60, -60)

Passo 6

Como queremos a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente, precisamos tomar a direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção desejada é:
(-(-60), -(-60)) = (60, 60)

Passo 7

Para encontrar a direção unitária, ou seja, a direção com comprimento 1, vamos normalizar o vetor (60, 60). Primeiro, calculamos o comprimento do vetor:
| (60, 60) | = raiz60^2 + 60^2 = raiz3600 + 3600 = raiz7200 approx 84,85
Então, a direção unitária é:
( 6084,85, 6084,85 ) approx (0,707, 0,707)

Resposta

O barco deve navegar na direção aproximadamente (0,707, 0,707) para que a profundidade da água diminua mais rapidamente.

Exercícios relacionados