A superfície de um lago é representada por uma região A no plano
, de modo que a profundidade, em metros, sob o ponto
, é dada por
. Em que direção um bote no ponto
deve navegar para que a profundidade da água decresça mais rapidamente ?
Passo 1
Então, a gente tem um problema sobre a profundidade de um lago. A profundidade em cada ponto
é dada pela função
. A pergunta é: em que direção um barco no ponto
deve navegar para que a profundidade da água diminua o mais rápido possível? Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente é relacionada ao gradiente da função
. O gradiente nos dá a direção de maior aumento da função, então para a diminuição mais rápida, vamos considerar a direção oposta ao gradiente.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja,
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico
:
Passo 6
Como queremos a direção em que a profundidade diminui mais rapidamente, precisamos tomar a direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção desejada é:
Passo 7
Para encontrar a direção unitária, ou seja, a direção com comprimento 1, vamos normalizar o vetor
. Primeiro, calculamos o comprimento do vetor:
Então, a direção unitária é:
Resposta
O barco deve navegar na direção aproximadamente
para que a profundidade da água diminua mais rapidamente.