Seja g(x, y)=1x^2+y^2. Calculando-se gx x(x, y)+gy y(x, y), obtém-se:
( A ) g^2(x, y)
( B ) 4 g(x, y)
(C) 2 g(x, y)
( D ) 4 g^2(x, y)
( E ) 2 g^2(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma das segundas derivadas parciais de g(x, y) = 1x^2+y^2 , ou seja, gxx(x, y) + gyy(x, y) . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e aplicar essas regras para encontrar gxx e gyy .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de g em relação a x , que é gx . Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos em relação a x :
g(x, y) = 1x^2 + y^2 = (x^2 + y^2)^-1
Derivando em relação a x :
gx = -1 cdot (x^2 + y^2)^-2 cdot 2x = -2x(x^2 + y^2)^2

Passo 3

Agora, vamos derivar gx novamente em relação a x para encontrar gxx :
gx = -2x(x^2 + y^2)^2
Usamos a regra do quociente ou a regra da cadeia para derivar:
gxx = -2 cdot (x^2 + y^2)^2 - 2x cdot 2(x^2 + y^2) cdot x(x^2 + y^2)^4 = 6x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^3

Passo 4

Vamos repetir o processo para derivar g em relação a y :
g(x, y) = (x^2 + y^2)^-1
A primeira derivada parcial em relação a y :
gy = -1 cdot (x^2 + y^2)^-2 cdot 2y = -2y(x^2 + y^2)^2

Passo 5

Agora, derivamos gy novamente em relação a y para encontrar gyy :
gy = -2y(x^2 + y^2)^2
Aplicando a regra da cadeia:
gyy = 6y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^3

Passo 6

Agora, somamos gxx e gyy :
gxx + gyy = 6x^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^3 + 6y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^3 = 4x^2 + 4y^2(x^2 + y^2)^3 = 4(x^2 + y^2)(x^2 + y^2)^3 = 4(x^2 + y^2)^2 = 4g^2(x, y)

Resposta

A resposta correta é a letra (D) 4 g^2(x, y).

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