Seja f(x, y)=raiz1-x^2-y.
D(f) é aberta ou fechada? D(f) é limitada? (Justifique!)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pergunta sobre o domínio da função f(x, y) = raiz1 - x^2 - y . Precisamos determinar se o domínio D(f) é aberto ou fechado e se é limitado. Para isso, vamos usar conceitos de conjuntos abertos, fechados e limitados no contexto da análise matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio D(f) . A função f(x, y) envolve uma raiz quadrada, o que significa que a expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida. Portanto, temos:
1 - x^2 - y >= 0

Passo 3

Resolvendo a desigualdade:
1 - x^2 - y >= 0 implies y <= 1 - x^2
Isso nos dá a condição que y deve satisfazer para cada valor de x . Geometricamente, isso representa a região abaixo da parábola y = 1 - x^2 no plano xy .

Passo 4

Agora, vamos analisar se D(f) é aberto ou fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. A fronteira de D(f) é a curva y = 1 - x^2 . Como a desigualdade é “menor ou igual a”, os pontos na fronteira pertencem ao conjunto. Portanto, D(f) é fechado.

Passo 5

Em seguida, vamos verificar se D(f) é limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano. Observando a condição y <= 1 - x^2 , vemos que para valores grandes de |x| , y se torna muito negativo, indo para menos infinito. Portanto, D(f) se estende indefinidamente na direção negativa do eixo y , o que significa que não está contido em nenhum círculo de raio finito. Assim, D(f) não é limitado.

Resposta

O domínio D(f) é um conjunto fechado e não limitado.

Exercícios relacionados