Seja
.
é aberta ou fechada?
é limitada? (Justifique!)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pergunta sobre o domínio da função
. Precisamos determinar se o domínio
é aberto ou fechado e se é limitado. Para isso, vamos usar conceitos de conjuntos abertos, fechados e limitados no contexto da análise matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio
. A função
envolve uma raiz quadrada, o que significa que a expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero para que a função esteja definida. Portanto, temos:
Passo 3
Resolvendo a desigualdade:
Isso nos dá a condição que
deve satisfazer para cada valor de
. Geometricamente, isso representa a região abaixo da parábola
no plano
.
Passo 4
Agora, vamos analisar se
é aberto ou fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira. A fronteira de
é a curva
. Como a desigualdade é “menor ou igual a”, os pontos na fronteira pertencem ao conjunto. Portanto,
é fechado.
Passo 5
Em seguida, vamos verificar se
é limitado. Um conjunto é limitado se está contido dentro de algum círculo de raio finito no plano. Observando a condição
, vemos que para valores grandes de
,
se torna muito negativo, indo para menos infinito. Portanto,
se estende indefinidamente na direção negativa do eixo
, o que significa que não está contido em nenhum círculo de raio finito. Assim,
não é limitado.
Resposta
O domínio
é um conjunto fechado e não limitado.