1. Esboce a região e calcule a sua área:
S=(x, y) ; x <= 1,0 <= y <= e^-x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
S = (x,y)mid x <= 1,;0 <= y <= e^-x
e calcular a sua área. O conteúdo é o cálculo de área por integral dupla (aqui reduzida a integral simples) e envolve uma integral imprópria, já que a região se estende até xto -infty.

Passo 2

Para esboçar S, note que a curva y=e^-x cresce exponencialmente quando x diminui. A região consiste de todos os pontos abaixo de y=e^-x, acima do eixo x- y ( y=0), e com abscissa x menor ou igual a 1. Assim o esboço é:
  1. A reta vertical x=1 à direita.
  2. A curva y=e^-x cortando em (1,e^-1) e subindo para a esquerda.
  3. As retas horizontais em y=0 (eixo x) e em y=e^-x.
  4. A região fica “por baixo” de y=e^-x, “por cima” de y=0, e se estende indefinidamente para a esquerda até xto -infty.

Passo 3

A área A de S é dada pela integral imprópria
A = integralx=-infty^1 l(a<ura em yr),dx = integral-infty^1 e^-x,dx
Aqui tratamos de uma integral imprópria porque o limite inferior é xto -infty.

Passo 4

Avaliamo-la como limite:
A = limato -inftyintegrala^1 e^-x,dx
Calculando a primitiva, temos
integral e^-x,dx = -,e^-x,
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integrala^1 e^-x,dx = l[-,e^-xr]x=a^x=1 = l(-e^-1r) - l(-e^-ar) = e^-a-e^-1
Fazendo ato -infty, temos e^-ato+infty. Portanto
A = limato -infty l(e^-a-e^-1r) = +infty

Resposta

A região é ilimitada para a esquerda sob a curva y=e^-x e acima de y=0. A área da região é infinita.

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