- Esboce a região e calcule a sua área:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e calcular a sua área. O conteúdo é o cálculo de área por integral dupla (aqui reduzida a integral simples) e envolve uma integral imprópria, já que a região se estende até
.
Passo 2
Para esboçar
, note que a curva
cresce exponencialmente quando
diminui. A região consiste de todos os pontos abaixo de
, acima do eixo
-
(
), e com abscissa
menor ou igual a
. Assim o esboço é:
- A reta vertical
à direita. - A curva
cortando em e subindo para a esquerda. - As retas horizontais em
(eixo ) e em . - A região fica “por baixo” de
, “por cima” de , e se estende indefinidamente para a esquerda até .
Passo 3
A área
de
é dada pela integral imprópria
Aqui tratamos de uma integral imprópria porque o limite inferior é
.
Passo 4
Avaliamo-la como limite:
Calculando a primitiva, temos
logo
Fazendo
, temos
. Portanto
Resposta
A região é ilimitada para a esquerda sob a curva
e acima de
. A área da região é infinita.