Mostre que o limite
quando existir é único.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se existir, o limite
é único. Ou seja, não pode haver outro valor
tal que
. O conteúdo aqui é definição de limite de função real usando a abordagem
-
.
Passo 2
Vamos supor, por absurdo, que existam dois limites diferentes:
e
, com
. Pela definição de limite, temos: para todo
existem
e
tais que, se
então
, e se
então
.
Definimos . Assim, para qualquer
, sempre que
valem simultaneamente
e
. Aplicando a desigualdade triangular, obtemos:
Definimos
Passo 3
Como isso vale para todo
, a única forma de
acontecer sempre é ter
, logo
. Portanto, chegamos a uma contradição com a hipótese
, e concluímos que o limite é único.
Resposta
O limite
é único: se existir, não há outro valor diferente que satisfaça a definição, de modo que
.