Mostre que o limite lim x p f(x)=L quando existir é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se existir, o limite limxto pf(x)=L é único. Ou seja, não pode haver outro valor Mneq L tal que limxto pf(x)=M. O conteúdo aqui é definição de limite de função real usando a abordagem varepsilon- de.

Passo 2

Vamos supor, por absurdo, que existam dois limites diferentes: limxto pf(x)=L e limxto pf(x)=M, com Lneq M. Pela definição de limite, temos: para todo varepsilon>0 existem de0 e de0 tais que, se 0<|x-p| então |f(x)-L|, e se 0<|x-p| então |f(x)-M|.
Definimos de. Assim, para qualquer varepsilon>0, sempre que 0<|x-p| valem simultaneamente |f(x)-L| e |f(x)-M|. Aplicando a desigualdade triangular, obtemos:
|L-M|=|L-f(x)+f(x)-M|<=|L-f(x)|+|f(x)-M|

Passo 3

Como isso vale para todo varepsilon>0, a única forma de |L-M| acontecer sempre é ter |L-M|=0, logo L=M. Portanto, chegamos a uma contradição com a hipótese Lneq M, e concluímos que o limite é único.

Resposta

O limite limxto pf(x) é único: se existir, não há outro valor diferente que satisfaça a definição, de modo que L=M.

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