Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais.
\iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} d V, onde E é a esfera com centro na origem e raio 1 .

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{E}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2}dV
onde E é a esfera de raio 1 centrada na origem.
O conteúdo é mudança para coordenadas esféricas, em que
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com 0\le\rho\le1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi.

Passo 2

Em coordenadas esféricas vale
x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2},
logo o integrando \bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)^{2} vira \rho^{4}, e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Portanto o integrando completo fica \rho^{4}\cdot\rho^{2}\sin\varphi=\rho^{6}\sin\varphi.

Passo 3

O integral triplo se escreve
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1}\rho^{6}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{1}\rho^{6}d\rho\Bigr).
Calculando cada parte, temos
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi,\quad \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=2,\quad \int_{0}^{1}\rho^{6}\,d\rho=\frac{1}{7}.

Passo 4

Multiplicando os resultados parciais vem
2\pi\times2\times\frac{1}{7}=\frac{4\pi}{7}.

Resposta

\frac{4\pi}{7}

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