Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais.
\iiint_{E} z d V, onde E é o sólido que está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e acima do cone 3 z^{2}=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule
\iiint_{E} z\,dV
onde E é o sólido dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (raio 2) e acima do cone 3z^{2}=x^{2}+y^{2}.
O conteúdo usado será coordenadas esféricas:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi
com jacobiano \rho^{2}\sin\varphi.

Passo 2

Traduzindo a região E para esféricas:
– A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 vira \rho=2.
– O cone 3z^{2}=x^{2}+y^{2} em esféricas é
3(\rho\cos\varphi)^{2}=(\rho\sin\varphi)^{2} \;\Longrightarrow\; \tan^{2}\varphi=3 \;\Longrightarrow\; \varphi=\arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}.
“Acima do cone” significa \varphi de 0 até \pi/3. E \theta vai de 0 a 2\pi.

Passo 3

Em coordenadas esféricas a integral fica
\iiint_{E} z\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{\varphi=0}^{\pi/3} \int_{\rho=0}^{2} \bigl(\rho\cos\varphi\bigr)\, \bigl(\rho^{2}\sin\varphi\bigr) \,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/3}\!\!\int_{0}^{2} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral em \rho:
\int_{0}^{2}\rho^{3}\,d\rho =\Bigl[\tfrac{1}{4}\rho^{4}\Bigr]_{0}^{2} =\tfrac{1}{4}\cdot16 =4.
Logo sobra
\int_{0}^{2\pi}\!\! \int_{0}^{\pi/3} 4\cos\varphi\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \varphi: faça u=\sin\varphi, du=\cos\varphi\,d\varphi, então
\int_{0}^{\pi/3}4\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{u=0}^{\sqrt{3}/2}4u\,du =\Bigl[2u^{2}\Bigr]_{0}^{\sqrt{3}/2} =2\cdot\tfrac{3}{4} =\tfrac{3}{2}.

Passo 6

Ainda falta a integral em \theta, mas ela é trivial:
\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Multiplicando tudo dá
2\pi\;\times\;\tfrac{3}{2} =3\pi.

Resposta

3\pi.

Exercícios relacionados