Esboce a região D dada e calcule a integral dupla sobre a região D.
b) integral duplaD(2 x+y) d A, em que D=(x, y) in R^2: 1 <= y <= 2, y-1 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D = (x,y)in R^2 : 1 <= y <= 2,;y - 1 <= x <= 1
e calcular
integral duplaD(2x+y),dA
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos primeiro entender a forma de D e depois montar a integral iterada.

Passo 2

Para esboçar D, note que y varia de 1 a 2 (duas retas horizontais y=1 e y=2) e, para cada y fixo, x vai da reta x=y-1 até a reta vertical x=1.
  • Em y=1, a reta x=y-1 é x=0, e x vai de 0 a 1.
  • Em y=2, a reta x=y-1 é x=1, e x vai de 1 até 1.
    Logo, D é o triângulo com vértices (0,1), (1,1) e (1,2).

Passo 3

Vamos escrever a integral dupla como iterada em ordem dx,dy:
integral duplaD(2x+y),dA =integraly=1^2!!integralx=y-1^1(2x+y),dx,dy

Passo 4

Calcule primeiro a integral interna em x:
integralx=y-1^1(2x+y),dx =l[x^2 + yxr]x=y-1^1 =l(1^2 + ycdot1r)-l((y-1)^2+y(y-1)r)
Desenvolvendo,
1+y-l(y^2-2y+1+y^2-yr) =1+y-l(2y^2-3y+1r) =4y-2y^2
Assim a integral fica
integral1^2(4y-2y^2),dy

Passo 5

Agora integramos em y:
integral1^2(4y-2y^2),dy =l[2y^2-tfrac23y^3r]1^2 =l(2cdot4-tfrac23cdot8r)-l(2cdot1-tfrac23cdot1r) =l(8-tfrac163r)-l(2-tfrac23r) =tfrac83-tfrac43 =tfrac43

Resposta

integral duplaD(2x+y),dA = tfrac43

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