Esboce a região
dada e calcule a integral dupla sobre a região
.
b)
, em que
.
b)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e calcular
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas. Vamos primeiro entender a forma de
e depois montar a integral iterada.
Passo 2
Para esboçar
, note que
varia de
a
(duas retas horizontais
e
) e, para cada
fixo,
vai da reta
até a reta vertical
.
- Em
, a reta é , e vai de a . - Em
, a reta é , e vai de até .
Logo,é o triângulo com vértices , e .
Passo 3
Vamos escrever a integral dupla como iterada em ordem
:
Passo 4
Calcule primeiro a integral interna em
:
Desenvolvendo,
Assim a integral fica
Passo 5
Agora integramos em
: