O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+5y'+3y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=2,
em que
f(t)= e^-2tsin(3t),&0<= t<pi, 0,&t>=pi
O método que vamos usar é a transformada de Laplace: transformamos a EDO em álgebra no domínio de s, solucionamos para Y(s), depois invertendo de volta a y(t).
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados e usamos
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0)
Isso dá
l(s^2Y - scdot1 -2r) +5l(sY-1r) +3Y ;=;F(s),
ou seja
Y(s)l(s^2+5s+3r);=;F(s)+s+7
Passo 3
Agora calculamos F(s)= Lf(t). Escrevemos
f(t)=e^-2tsin(3t)l[u(t)-u(t-pi)r]
A transformada de e^-2tsin(3t) é
Le^-2tsin(3t) =3(s+2)^2+9
E a parte com u(t-pi) gera fator e^-pi s e um sinal menos compensado por sin(3(t+pi))=-sin3t. O resultado é