Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+5 y^prime+3 y=f(t), y(0)=1, y^prime(0)=2, f(t)=cce^-2 t sin (3 t), & 0 <= t<pi 0, & pi <= t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''+5y'+3y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=2,
em que
f(t)= e^-2tsin(3t),&0<= t<pi, 0,&t>=pi
O método que vamos usar é a transformada de Laplace: transformamos a EDO em álgebra no domínio de s, solucionamos para Y(s), depois invertendo de volta a y(t).

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em ambos os lados e usamos
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0)
Isso dá
l(s^2Y - scdot1 -2r) +5l(sY-1r) +3Y ;=;F(s),
ou seja
Y(s)l(s^2+5s+3r);=;F(s)+s+7

Passo 3

Agora calculamos F(s)= Lf(t). Escrevemos
f(t)=e^-2tsin(3t)l[u(t)-u(t-pi)r]
A transformada de e^-2tsin(3t) é
Le^-2tsin(3t) =3(s+2)^2+9
E a parte com u(t-pi) gera fator e^-pi s e um sinal menos compensado por sin(3(t+pi))=-sin3t. O resultado é
F(s) =3(s+2)^2+9 +3,e^-pi s-2pi(s+2)^2+9

Passo 4

Logo
Y(s) =s+7s^2+5s+3 +3s^2+5s+3,1(s+2)^2+9 +3,e^-pi s-2pi(s^2+5s+3)l((s+2)^2+9r)
Separamos Y(s)=Yh(s)+Yp(s), onde
Yh(s)=s+7s^2+5s+3, Yp(s)=3s^2+5s+3,1(s+2)^2+9 +3,e^-pi s-2pi(s^2+5s+3)l((s+2)^2+9r)

Passo 5

O termo Yh(s) corresponde à solução homogênea
yh(t)=C1e^r1 t+C2e^r2 t,
com as raízes
r1,2=-5pmraiz132
As constantes C1,C2 vêm das condições iniciais, pois a parte forçada por convolução anula-se em t=0.

Passo 6

Impondo
yh(0)=C1+C2=1, yh'(0)=r1C1+r2C2=2,
resolve-se
C1=9+raiz132raiz13, C2=raiz13-92raiz13

Passo 7

Para Yp(s) usamos a convolução com a função de Green
g(t)=2raiz13,e^-5t/2sinh!l(tfracraiz132,tr),
que é a inversa de tfrac1s^2+5s+3.

Passo 8

Assim a solução completa fica, em forma convolucional,
y(t) =yh(t) +integral0^min(t,pi) g(t-tau),e^-2tausin(3tau),dtau

Passo 9

Reescrevendo tudo de modo claro, para 0<= t<pi temos
y(t) =C1e^r1 t+C2e^r2 t +integral0^t 2raiz13,e^-tfrac52(t-tau) sinh!l(tfracraiz132(t-tau)r) ,e^-2tausin(3tau),dtau,
e para t>=pi
y(t) =C1e^r1 t+C2e^r2 t +integral0^pi 2raiz13,e^-tfrac52(t-tau) sinh!l(tfracraiz132(t-tau)r) ,e^-2tausin(3tau),dtau

Resposta

Para r1,2=(-5pmraiz13)/2 e
C1=9+raiz132raiz13, C2=raiz13-92raiz13,
temos a solução em forma de convolução:
Para 0<= t<pi,
y(t) =C1e^r1 t+C2e^r2 t +integral0^t 2raiz13,e^-tfrac52(t-tau) sinh!l(tfracraiz132(t-tau)r) ,e^-2tausin(3tau),dtau,
e para t>=pi,
y(t) =C1e^r1 t+C2e^r2 t +integral0^pi 2raiz13,e^-tfrac52(t-tau) sinh!l(tfracraiz132(t-tau)r) ,e^-2tausin(3tau),dtau

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