- (2 pontos) Considere a ED
(a) Mostre que
é uma solução particular para a equação.
(b) Faça a substituição
e determine uma família de soluções para a equação.
(b) Faça a substituição
Passo 1
Neste exercício temos a equação diferencial de Riccati
Precisamos mostrar que a função particular
satisfaz essa equação e depois usar a substituição
para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro verificamos que
é solução particular. Calculamos
Substituindo
no lado direito da equação,
que coincide com
.
Passo 3
Fazendo a substituição
temos
Substituindo na equação original,
Simplificando, cancela o
e obtemos
Passo 4
Essa é uma equação de Bernoulli em
com grau 2. Fazendo
decorre
ou seja
O fator integrante é
, então
Logo
Passo 5
Voltando a
obtemos
Definindo
, fica
com
constante de integração.
Resposta
A família geral de soluções é
, onde
é constante de integração.