1. (2 pontos) Considere a ED
d yd x=-4x^2-1x y+y^2
(a) Mostre que y1=2x é uma solução particular para a equação.
(b) Faça a substituição y=y1+u e determine uma família de soluções para a equação.

Passo 1

Neste exercício temos a equação diferencial de Riccati
dydx=-4x^2-1xy+y^2
Precisamos mostrar que a função particular y1(x)=tfrac2x satisfaz essa equação e depois usar a substituição y=y1+u para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro verificamos que y1(x)=tfrac2x é solução particular. Calculamos
ddxl(2xr)=-2x^2
Substituindo y=y1 no lado direito da equação,
-4x^2-1xcdot2x+l(2xr)^2=-4x^2-2x^2+4x^2=-2x^2,
que coincide com y1'.

Passo 3

Fazendo a substituição y=2x+u temos
dydx=-2x^2+dudx
Substituindo na equação original,
-2x^2+dudx=-4x^2-1xl(2x+ur)+l(2x+ur)^2
Simplificando, cancela o -2/x^2 e obtemos
dudx=3xu+u^2

Passo 4

Essa é uma equação de Bernoulli em u com grau 2. Fazendo v=1/u decorre
dvdx=-u^-2dudx=-1-3xv
ou seja
dvdx+3xv=-1
O fator integrante é mu(x)=x^3, então
ddx(v,x^3)=-x^3 implies v,x^3=-x^44+C
Logo
v=-x4+Cx^-3

Passo 5

Voltando a u=1/v obtemos
u(x)=1-x4+Cx^-3=4x^3-x^4+4C
Definindo K=4C, fica
u(x)=4x^3K-x^4e y(x)=2x+4x^3K-x^4,
com K constante de integração.

Resposta

A família geral de soluções é y(x)=2x+4x^3K-x^4, onde K é constante de integração.

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