Esboce a região delimitada pelas curvas e decida se a integração deve ser feito com relação a variável
ou y. Desenhe um retângulo típico com sua altura e largura. Finalmente ache a área da região.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = sen(πx), y = x² − x e pela reta x = 2. O conteúdo é o cálculo de área entre curvas, e vamos precisar: achar pontos de interseção, decidir em qual variável integrar, desenhar um retângulo típico e montar a integral definida.
Passo 2
Para achar as fronteiras da região, igualamos sen(πx) = x² − x. Isso dá soluções x = 0 e x = 1, mas a reta x = 2 fecha a região apenas entre x = 1 e x = 2. Nos interessa o ponto de interseção (1,0). A reta x = 2 intercepta y = sen(πx) em (2,0) e y = x² − x em (2,2).
Esboçando: no intervalo [1,2], a curva y = x² − x fica acima de y = sen(πx). Assim a região é fechada por: curva inferior y = sen(πx) de x = 1 até x = 2, reta vertical x = 2 de y = 0 até y = 2, e curva superior y = x² − x de x = 2 até x = 1. Desenhamos também o retângulo típico com largura dx e altura (x² − x) − sen(πx).
Esboçando: no intervalo [1,2], a curva y = x² − x fica acima de y = sen(πx). Assim a região é fechada por: curva inferior y = sen(πx) de x = 1 até x = 2, reta vertical x = 2 de y = 0 até y = 2, e curva superior y = x² − x de x = 2 até x = 1. Desenhamos também o retângulo típico com largura dx e altura (x² − x) − sen(πx).
Passo 3
Como para cada x em [1,2] a região está entre duas funções y = f_top(x) e y = f_bot(x), faz sentido integrar em x. A altura do retângulo é f_top(x) − f_bot(x) = (x² − x) − sen(πx) e a largura é dx.
Montamos a integral da área:
Montamos a integral da área:
Passo 4
Separamos em duas integrais:
Logo uma primitiva é
Passo 5
Avaliando nos limites x = 1 e x = 2:
Em x = 2: .
Em x = 1: .
Subtraindo:
Em x = 2:
Em x = 1:
Subtraindo: