Sejam a, b in R tais que 0<a<b. Mostre que
a b<(a+b2)^2

Passo 1

O enunciado diz que a,binR com 0<a<b e pede para mostrar
ab<l(a+b2r)^2
O conteúdo envolvido é a manipulação de desigualdades e o fato de que o quadrado de um número real não nulo é sempre positivo.

Passo 2

Como b>a, temos b-a>0. Então o quadrado desse número também é positivo, isto é,
(b-a)^2>0

Passo 3

Expandindo a expressão do lado esquerdo, obtemos
b^2-2ab+a^2>0

Passo 4

Somando 4ab em ambos os lados da desigualdade (operação que preserva a rigidez), fica
b^2-2ab+a^2+4ab>0+4ab Longrightarrow a^2+2ab+b^2>4ab

Passo 5

Reconhecemos que a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. Logo a desigualdade vira
(a+b)^2>4ab

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 4 (positivo), concluímos
(a+b)^24>ab

Passo 7

Por fim, note que (a+b)^24=l(a+b2r)^2. Assim chegamos exatamente ao que se pedia:
ab<l(a+b2r)^2

Resposta

ab<l(tfraca+b2r)^2

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