integral0^1 d xraizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^1dxraizx. O conteúdo é o de integrais impróprias do tipo integral0^1x^-pdx e vamos precisar usar a definição de integral imprópria para lidar com a singularidade em x=0 e depois encontrar a antiderivada.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que 1raizx=x^-1/2 tem uma descontinuidade em x=0, então definimos a integral como limite:
integral0^1x^-1/2dx=limvarepsilonto0^+integralvarepsilon^1x^-1/2dx
Para verificar convergência, lembramos que a integral integral0^1x^-pdx converge se p<1. Aqui p=1/2<1, logo ela converge.

Passo 3

Agora calculamos a antiderivada de x^-1/2. Usando a regra integral x^ndx=x^n+1n+1 para nneq -1, temos:
integral x^-1/2dx=x^-1/2+1-1/2+1=x^1/21/2=2x^1/2

Passo 4

Por fim, aplicamos o limite da definição de integral imprópria:
[\lim_{\varepsilon\to0+}\bigl[2x{1/2}\bigr]_{x=\varepsilon}{x=1}=\lim_{\varepsilon\to0+}\bigl(2\cdot1{1/2}-2\varepsilon{1/2}\bigr)=2-0=2. Portanto, a integral converge e vale 2.

Resposta

2

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