Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
. O conteúdo é o de integrais impróprias do tipo
e vamos precisar usar a definição de integral imprópria para lidar com a singularidade em
e depois encontrar a antiderivada.
Passo 2
Primeiro, reconhecemos que
tem uma descontinuidade em
, então definimos a integral como limite:
Para verificar convergência, lembramos que a integral
Passo 3
Agora calculamos a antiderivada de
. Usando a regra
para
, temos:
Passo 4
Por fim, aplicamos o limite da definição de integral imprópria:
[\lim_{\varepsilon\to0+}\bigl[2x{1/2}\bigr]_{x=\varepsilon}{x=1}=\lim_{\varepsilon\to0+}\bigl(2\cdot1{1/2}-2\varepsilon{1/2}\bigr)=2-0=2. Portanto, a integral converge e vale 2.
Resposta
2