Seja . A função é contínua em ? É derivável em ? Justifique.
Passo 1
Temos a função definida por partes
O conteúdo aqui é verificar continuidade em usando limites laterais e depois checar derivabilidade em comparando as derivadas laterais.
Passo 2
Calculemos os limites laterais em e o valor de :
e como usa-se o segundo ramo,
Passo 3
Para ser contínua em é preciso
Aqui , logo não é contínua em .
Passo 4
Como diferenciabilidade implica continuidade, já não pode ser derivável em . Alternativamente, as derivadas laterais seriam f'+(2)=ddx(x^2+2)|x=2=2cdot2=4,
e como 1neq4, a derivada em x=2 não existe.
Resposta
A função f não é contínua em x=2 e, consequentemente, não é derivável em x=2.