Seja f(x)=lllx+1 & se & x<2 x^2+2 & se & x >= 2. A função f é contínua em x=2 ? É derivável em x=2 ? Justifique.

Passo 1

Temos a função definida por partes
f(x)= x+1,& x<2, x^2+2,& x>=2
O conteúdo aqui é verificar continuidade em x=2 usando limites laterais e depois checar derivabilidade em x=2 comparando as derivadas laterais.

Passo 2

Calculemos os limites laterais em x=2 e o valor de f(2):
limxto2^-f(x)=limxto2^-(x+1)=2+1=3,
limxto2^+f(x)=limxto2^+(x^2+2)=2^2+2=6,
e como 2>=2 usa-se o segundo ramo,
f(2)=2^2+2=6

Passo 3

Para ser contínua em x=2 é preciso
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=f(2)
Aqui limxto2^-f(x)=3neq6=limxto2^+f(x), logo f não é contínua em x=2.

Passo 4

Como diferenciabilidade implica continuidade, f já não pode ser derivável em x=2. Alternativamente, as derivadas laterais seriam
f'-(2)=ddx(x+1)|x=2=1,
f'+(2)=ddx(x^2+2)|x=2=2cdot2=4,
e como 1neq4, a derivada em x=2 não existe.

Resposta

A função f não é contínua em x=2 e, consequentemente, não é derivável em x=2.

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