Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^4-3 x^2, y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^4 - 3x^2
e
y = x^2
O conteúdo é “área entre curvas” e vamos precisar achar os pontos de interseção, decidir qual função é a de cima e então integrar a diferença.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção resolvemos
x^4 - 3x^2 = x^2
que dá
x^4 - 4x^2 = 0, x^2(x^2 - 4)=0
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x = -2,;0,;2

Passo 3

Escolhendo um valor em -2<x<2, por exemplo x=1, temos
x^2 = 1 e x^4 -3x^2 = 1 -3 = -2,
ou seja, y=x^2 está acima de y=x^4-3x^2 nesse intervalo. A região fica então entre x=-2 e x=2, com topo y=x^2 e fundo y=x^4-3x^2.

Passo 4

A área é
A = integral-2^2l[x^2 - (x^4 -3x^2)r],dx = integral-2^2(-x^4 +4x^2),dx
Como a função é par,
A = 2integral0^2(-x^4 +4x^2),dx = 2l[-x^55 + 4x^33r]0^2 = 2l(-325 + 323r) = 12815

Resposta

A área da região é 12815.

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