Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos achar onde as duas curvas se cruzam, descobrir qual fica acima da outra e montar a integral da diferença entre elas.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos achar onde as duas curvas se cruzam, descobrir qual fica acima da outra e montar a integral da diferença entre elas.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção resolvendo
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Fazendo
, vem
logo
(descartamos a raiz negativa). Assim
e os pontos de interseção são
Passo 3
Para saber quem é a curva superior, basta avaliar num ponto interior, por exemplo
:
e
.
Logo está acima de
em todo o intervalo
.
Logo
Passo 4
A área
da região é
Passo 5
Calcular
. Como a função é par,
Usamos
portanto
Passo 6
Calcular
. Também é par, então
Passo 7
Substituindo em
: