Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^2, y=32x^2+4

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=32x^2+4.
O conteúdo aqui é cálculo de área por integração: vamos achar onde as duas curvas se cruzam, descobrir qual fica acima da outra e montar a integral da diferença entre elas.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção resolvendo
x^2 ;=;32x^2+4
Multiplicando ambos os lados por (x^2+4) obtemos
x^2,(x^2+4)=32 Longrightarrow x^4+4x^2-32=0
Fazendo u=x^2, vem
u^2+4u-32=0 Longrightarrow u=-4pmraiz16+1282=-4pm122,
logo u=4 (descartamos a raiz negativa). Assim x^2=4 e os pontos de interseção são
x=-2e x=2

Passo 3

Para saber quem é a curva superior, basta avaliar num ponto interior, por exemplo x=0:
,y1(0)=0^2=0 e ,y2(0)=tfrac320+4=8.
Logo y=32x^2+4 está acima de y=x^2 em todo o intervalo [-2,2].

Passo 4

A área A da região é
A =integral-2^2l[32x^2+4-x^2r],dx =integral-2^232x^2+4,dx ;-;integral-2^2x^2,dx

Passo 5

Calcular integral-2^232x^2+4,dx. Como a função é par,
integral-2^232x^2+4,dx =2cdot32integral0^21x^2+4,dx =64integral0^21x^2+2^2,dx
Usamos
integraldxx^2+a^2=1aarctan!l(tfracxar),
portanto
64cdotl[12arctan!l(tfracx2r)r]0^2 =32l(arctan(1)-arctan(0)r) =32cdotpi4 =8pi

Passo 6

Calcular integral-2^2x^2,dx. Também é par, então
integral-2^2x^2,dx =2integral0^2x^2,dx =2cdotl[x^33r]0^2 =2cdot83 =163

Passo 7

Substituindo em A:
A=8pi - 163

Resposta

A = 8pi - 163

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