Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=sen pi x2, y=x^3

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas
y=sin!l(pi x2r)
e
y=x^3
e o cálculo da área dessa região. Para esboçar, note que as duas curvas se cruzam em (-1,-1), (0,0) e (1,1); entre esses pontos a região é fechada pelas duas curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo
sin!l(pi x2r)=x^3
Testando valores notáveis, vemos que ,x=-1,0,1 satisfazem a equação e não há outras soluções entre -1 e 1.

Passo 3

Determinar qual curva está por cima em cada intervalo:
  • Para xin[-1,0], por exemplo em x=-0.5, temos sin(-pi/4)=-tfracraiz22 e (-0.5)^3=-0.125, logo x^3>sin(tfracpi x2).
  • Para xin[0,1], por exemplo em x=0.5, temos sin(pi/4)=tfracraiz22 e (0.5)^3=0.125, logo sin(tfracpi x2)>x^3.

Passo 4

Escrever a área como soma de integrais das diferenças:
A=integral-1^0l(x^3-sintfracpi x2r),dx;+;integral0^1l(sintfracpi x2-x^3r),dx

Passo 5

Como x^3 e sin(tfracpi x2) são ambas funções ímpares, as duas integrais são iguais em módulo. Assim
A =2l(integral0^1sintfracpi x2,dx-integral0^1x^3,dxr)

Passo 6

Calcular cada integral:
integral0^1sintfracpi x2,dx =l[-tfrac2picostfracpi x2r]0^1 =-tfrac2pi(0-1) =tfrac2pi,
integral0^1x^3,dx =l[tfracx^44r]0^1 =tfrac14

Passo 7

Substituindo em A:
A =2l(tfrac2pi-tfrac14r) =tfrac4pi-tfrac12

Resposta

boxedA=4pi-12

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