Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região formada pelas curvas
,
,
e
, e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo de áreas entre curvas, que envolve integrar as funções que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando
, temos:
Resolvendo:
Então, as curvas se intersectam quando
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual função está acima da outra no intervalo entre
e
. Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as curvas de
a
. A área
é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Agora, avaliamos entre os limites:
Substituindo os limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.