Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=1x+2, y=(x+2)^2, x=-32, x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região formada pelas curvas y = 1x+2 , y = (x+2)^2 , x = -32 e x = 1 , e depois encontrar a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar noções de cálculo de áreas entre curvas, que envolve integrar as funções que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando 1x+2 = (x+2)^2 , temos:
1x+2 = (x+2)^2 implies 1 = (x+2)^3
Resolvendo:
(x+2)^3 = 1 implies x+2 = 1 implies x = -1
Então, as curvas se intersectam quando x = -1 .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual função está acima da outra no intervalo entre x = -32 e x = 1 . Vamos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 0 :
y1 = 10+2 = 12
y2 = (0+2)^2 = 4
Como 4 > 12 , a função y = (x+2)^2 está acima de y = 1x+2 nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área entre as curvas de x = -32 a x = 1 . A área A é dada pela integral da diferença das funções:
A = integral-1.5^1 [ (x+2)^2 - 1x+2 ] dx

Passo 5

Vamos resolver a integral:
A = integral-1.5^1 (x+2)^2 dx - integral-1.5^1 1x+2 dx
Calculando cada parte:
Para integral (x+2)^2 dx :
integral (x+2)^2 dx = (x+2)^33
Para integral 1x+2 dx :
integral 1x+2 dx = ln|x+2|
Agora, avaliamos entre os limites:
A = [ (x+2)^33 ]-1.5^1 - [ ln|x+2| ]-1.5^1
Substituindo os limites:
Para x = 1 :
(1+2)^33 = 273 = 9
ln(1+2) = ln(3)
Para x = -1.5 :
(-1.5+2)^33 = (0.5)^33 = 0.1253 approx 0.0417
ln(-1.5+2) = ln(0.5)
Então:
A = (9 - 0.0417) - ( ln(3) - ln(0.5) )
A approx 8.9583 - (1.0986 - (-0.6931))
A approx 8.9583 - 1.7917 approx 7.1666

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 7.17 unidades quadradas.

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