Pesquise a demonstração da existência do limite de cada uma das sequências abaixo:
lim n infty x^n=0, (|x|<1)

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, fixo um real x com lvert xrvert<1, a sequência
l(x^nr)n=1^infty
converge para 0. O conteúdo é o conceito de limite de sequência em R e usaremos a definição formal: para todo varepsilon>0 existe NinN tal que, se n>N, então lvert x^n-0rvert<varepsilon.

Passo 2

Observamos que
lvert x^n-0rvert = lvert xrvert^n
Como lvert xrvert<1, temos lnlvert xrvert<0 e portanto
lvert xrvert^n = e^nlnlvert xrvert,
Como ntoinfty implica nlnlvert xrvertto -infty, segue que e^nlnlvert xrvertto0.

Passo 3

Para formalizar via definição, seja um varepsilon>0 dado. Queremos
e^nlnlvert xrvert<varepsilon,
isto é,
nlnlvert xrvert < lnvarepsilon
Como lnlvert xrvert<0, ao dividir por lnlvert xrvert invertemos o sinal:
n > lnvarepsilonlnlvert xrvert
Basta então tomar
N = lceil lnvarepsilonlnlvert xrvertrceil,
de modo que, para todo n>N, valha lvert xrvert^n<varepsilon.

Passo 4

Concluímos que, para cada varepsilon>0, existe N tal que n>N implica lvert x^n-0rvert<varepsilon. Logo, pela definição de limite de sequência,
limntoinftyx^n = 0

Resposta

limntoinftyx^n = 0 para todo x com lvert xrvert<1.

Exercícios relacionados