Pesquise a demonstração da existência do limite de cada uma das sequências abaixo:
lim n infty x^nn!=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limntoinftyx^nn!=0
O conteúdo aqui é limite de sequência. Vamos usar o critério da razão e comparação com uma sequência geométrica para provar a convergência a zero.

Passo 2

Definamos
un = x^nn!
Calculamos a razão das parcelas em valor absoluto:
|un+1un| =|x|^n+1/(n+1)!|x|^n/n! =|x|n+1

Passo 3

Como
|x|n+1;xrightarrow[ntoinfty];0,
existe NinN tal que para todo n>= N vale
|un+1un|<tfrac12

Passo 4

Para n>= N, aplicando repetidamente essa desigualdade, obtemos
|un|<= |uN|l(tfrac12r)^,n-N
Como l(tfrac12r)^,n-Nto0 quando ntoinfty, segue que |un|to0.

Resposta

limntoinftyx^nn!=0

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