Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=x^3-x, y=0, x=-1, x=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela curva y = x³ – x, pelo eixo x (y = 0) e pelas retas x = –1 e x = 1. Aqui vamos usar conceitos de integração definida para área entre curvas e verificar onde a função está acima ou abaixo do eixo.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos onde a curva intersecta o eixo x, resolvendo x³ – x = 0. Fatorando, temos x(x² – 1) = 0, o que dá x = –1, 0 e 1. Esses valores dividem o intervalo em [–1,0] e [0,1], e precisamos checar o sinal de f(x) = x³ – x em cada trecho: em (–1,0) f(x) > 0 (acima do eixo) e em (0,1) f(x) < 0 (abaixo do eixo).

Passo 3

A área procurada é a soma das áreas entre a curva e o eixo x em cada subintervalo, tomando o valor absoluto quando a curva fica abaixo do eixo. Assim,
Ao calcular, temos:
A1 = integral-1^0 (x^3 - x) ,dx = [x^44 - x^22]-1^0 = 0 - l(14 - 12r) = 14,
A2 = integral0^1 l(0 - (x^3 - x)r) ,dx = integral0^1 (x - x^3) ,dx = [x^22 - x^44]0^1 = 12 - 14 = 14

Passo 4

Somando as duas áreas obtemos a área total da região.

Resposta

tfrac12

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