Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e calcular a área da região limitada pela curva y = x³ – x, pelo eixo x (y = 0) e pelas retas x = –1 e x = 1. Aqui vamos usar conceitos de integração definida para área entre curvas e verificar onde a função está acima ou abaixo do eixo.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos onde a curva intersecta o eixo x, resolvendo x³ – x = 0. Fatorando, temos x(x² – 1) = 0, o que dá x = –1, 0 e 1. Esses valores dividem o intervalo em [–1,0] e [0,1], e precisamos checar o sinal de f(x) = x³ – x em cada trecho: em (–1,0) f(x) > 0 (acima do eixo) e em (0,1) f(x) < 0 (abaixo do eixo).
Passo 3
A área procurada é a soma das áreas entre a curva e o eixo x em cada subintervalo, tomando o valor absoluto quando a curva fica abaixo do eixo. Assim,
Ao calcular, temos:
Ao calcular, temos:
Passo 4
Somando as duas áreas obtemos a área total da região.